Question

Preciso de ajuda por favor!

Answer 1

Resposta:

4.2.6

b) $2$ e $0$

c) $3$ e $0$

4.2.7

b) Solução única: $\{(2,2),(1,1)\}$

Infinitas soluções: $\{(1,1)\}$

Nenhuma solução: $\{(1,0),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,3)\}$

c) Solução única: $\{(3,3),(2,2),(1,1)\}$

Infinitas soluções: $\{(1,1),(2,2)\}$

Nenhuma solução: $\{(1,0),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2)\}$

Explicação passo a passo:

4.2.6

Posto = Quantidade de linhas não nulas da matriz em sua forma escalonada

Nulidade = número de colunas da matriz menos o posto

b)

Para uma matriz $A_{3\times2}$ temos que

$A_{3\times2} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21}\\a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$

onde sua forma escalonada com maior número de linhas não nulas vai ser do tipo

$A'_{3\times2} = \begin{bmatrix}1 & k_1\\0 & 1\\0 & 0\end{bmatrix}$

Logo o posto máximo dessa matriz é $2$ e a nulidade mínima é $2-2=0$

c)

Para uma matriz $A_{3\times3}$ temos que

$A_{3\times2} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

onde sua forma escalonada com maior número de linhas não nulas vai ser do tipo

$A'_{3\times3} = \begin{bmatrix}1 & k_1 & k_2\\0 & 1 & k_3\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Logo o posto máximo dessa matriz é $3$ e a nulidade mínima é $3-3=0$

4.2.7

$A$ uma matriz não nula, encontrar o posto de $A$ e o posto de $([A|B])$ para os casos onde o sistema $AX=B$ tem solução única, não tem solução e tem infinitas soluções

b)

$A_{3\times2} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21}\\a_{21} & a_{22}\\a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$

O sistema $AX=B$ para

$X=\begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix}$

e

$B = \begin{bmatrix}b_{11} \\b_{21} \\b_{31} \end{bmatrix}$

Para o sistema ter solução única ele teve ser da forma

$([A|B]) = \begin{bmatrix}\ 1 & k_1 & | & b_1\\0 &1 & | & b_2\\0 & 0 & | & 0\end{bmatrix}$

$Posto(A)=Posto(B)=\#colunas\ de\ A$

Para o sistema ter infinitas soluções ele deve ser da forma

$([A|B]) = \begin{bmatrix}\ 1 & k_1 & | & b_1\\0 &0 & | & 0\\0 & 0 & | & 0\end{bmatrix}$

$Posto(A)=Posto(B) < \#colunas\ de\ A$

Para o sistema não possuir solução ele teve ser da forma

$([A|B]) = \begin{bmatrix}\ 1 & k_1 & | & b_1\\0 &0 & | & b_2\\0 & 0 & | & 0\end{bmatrix}$

ou da forma

$([A|B]) = \begin{bmatrix}\ 1 & k_1 & | & b_1\\0 &0 & | & 0\\0 & 0 & | & b_3\end{bmatrix}$

ou da forma

$([A|B]) = \begin{bmatrix}\ 1 & k_1 & | & b_1\\0 &1 & | & b_2\\0 & 0 & | & b_3\end{bmatrix}$

ou da forma

$([A|B]) = \begin{bmatrix}\ 1 & k_1 & | & b_1\\0 &1 & | & 0\\0 & 0 & | & 0\end{bmatrix}$

E assim por diante

$Posto(A)\ne Posto(B)$

então

Para solução única

$Posto(A)=Posto(B)=2$ ou $Posto(A)=Posto([A|B])=1$

Para infinitas soluções

$Posto(A)=Posto(B) < 2$, nesse caso o único valor possivel menor que $2$ é o $1$ pois $A$ é matriz não nula

$Posto(A)=Posto(B) =1$

Para não possuir solução

$Posto(A) \ne Posto(B)$, onde o posto máximo de $A$ é $2$, como vimos no exercício anterior, e o mínimo é $1$ pois $A$ é não nula, já $B$ pode ter posto $1,2$ ou $3$, então os casos possiveis são

$Posto(A)=1$ e $Posto(B)=0$

$Posto(A)=1$ e $Posto(B)=2$

$Posto(A)=1$ e $Posto(B)=3$

$Posto(A)=2$ e $Posto(B)=0$

$Posto(A)=2$ e $Posto(B)=1$

$Posto(A)=2$ e $Posto(B)=3$

c) analogamente para o $A_{3\times3}$

Para solução única

$Posto(A)=Posto(B)=3$ ou $Posto(A)=Posto(B)=2$ ou $Posto(A)=Posto([A|B])=1$

Para infinitas soluções

$Posto(A)=Posto(B) < 3$, nesse caso os únicos valores possiveis menores que $3$ são $2$ e $1$ pois $A$ é matriz não nula

$Posto(A)=Posto(B) =1$ ou $Posto(A)=Posto(B) =2$

Para não possuir solução

$Posto(A) \ne Posto(B)$, onde o posto máximo de $A$ é $2$, como vimos no exercício anterior, e o mínimo é $1$ pois $A$ é não nula, já $B$ pode ter posto $1,2$ ou $3$, então os casos possiveis são

$Posto(A)=1$ e $Posto(B)=0$

$Posto(A)=1$ e $Posto(B)=2$

$Posto(A)=1$ e $Posto(B)=3$

$Posto(A)=2$ e $Posto(B)=0$

$Posto(A)=2$ e $Posto(B)=1$

$Posto(A)=2$ e $Posto(B)=3$

$Posto(A)=3$ e $Posto(B)=0$

$Posto(A)=3$ e $Posto(B)=1$

$Posto(A)=3$ e $Posto(B)=2$

Tentei explicar o passo a passo, se tiver ficado confuso chama nois, e bons estudos