Question

Preciso de ajuda para resolver o exercício em anexo.
Enunciado: Um corpo de massa m = 250 g é sustentado por um fio composto de dois materiais, conforme mostrado na figura ao lado. Sabe-se que o fio 1 possui comprimento L1 = 64 cm e densidade linear de massa μ1 = 1,95.10-3 kg/m; e o fio 2 possui L2 = 40 cm e μ2 = 7,80.10-3 kg/m.
a) Determine o valor do ângulo θ para que se estabeleça uma onda estacionária de frequência f = 78 Hz, com 9 ventres e 10 nós (incluindo os das pontas), sendo um destes nós exatamente na junção dos fios.
b) As amplitudes da onda estacionária nos trechos L1 e L2 são diferentes. Calcule a razão entre as amplitudes (A1/A2).

Answer 1

Resposta:

• a) 30º
• b) √2

Explicação:

• Essa tarefa é sobre ondas estacionárias.

• As ondas estacionárias são um tipo de movimento periódico onde a energia fica armazenada no sistema, e oscila entre um valor de máximo e mínimo, porém sempre permanece constante.
• Cada modo de vibração de uma onda estacionária é o que chamamos de harmônico e ele é medido pelo número de ventres que existe nesse tipo de onda.

Sem mais delongas, bora para a solução!

Solução:

Para esse problema fiz um desenho com o esquema de todas as forças aplicadas na figura abaixo.

a)

1. A velocidade de propagação de uma onda numa corda é dada pela fórmula de Taylor:

$\boxed{\sf{v=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}}}\qquad\sf{(1)}$

onde:

F = força de tensão;

μ = densidade linear da corda

2. A relação fundamental da ondulatória permite calcular a velocidade de uma onda qualquer, temos:

$\boxed{\sf{v=\lambda\cdot f}}\qquad\sf{(2)}$

onde:

λ = comprimento de onda;

f = frequência.

3. Combinando as equações (1) e (2), obtemos:

$\sf{\lambda\cdot f=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}\qquad\sf{(3)$

4. Numa onda estacionária, o comprimento de onda λ e o comprimento da corda L estão relacionados da seguinte forma:

$\boxed{\sf{\lambda=\dfrac{2L}{n}}}\qquad\sf{(4)}$

onde:

L = comprimento da corda

n = número de ventres da onda estacionária

5. Substituindo em (3) e isolando a força, temos:

$\sf{\lambda\cdot f=\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}}\\\\\\\bigg(\dfrac{2L}{n}\bigg)f=\sf{\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}}}\\\\\\\sf{4\bigg(\dfrac{Lf}{n}\bigg)^2=\sf{\dfrac{F}{\mu}}}\\\\\\\therefore \boxed{\sf{F=4\mu\bigg(\dfrac{Lf}{n}\bigg)^2}}\qquad\sf{(5)}$

6. A força tensora numa corda é constante, logo:

$\sf{F_1=F_2}\\\\\sf{4\mu_1\bigg(\dfrac{L_1f}{n_1}\bigg)^2=4\mu_2\bigg(\dfrac{L_2f}{n_2}\bigg)^2}}}\\\\\\\sf{\mu_1\dfrac{L_1^2}{n_1^2}=\mu_2\dfrac{L_2^2}{n_2^2}}$

$\sf{n_2^2\mu_1L_1^2=n_1^2\mu_2L_2^2}\\\\\\\boxed{\sf{\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{L_2}{L_1}\cdot\sqrt{\dfrac{\mu_2}{\mu_1}}}}}\qquad\sf{(6)}$

7. Substituindo os dados:

$\sf{\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{0,4}{0,64}\cdot\sqrt{\dfrac{7,8}{1,95}}=1,25}}\\\\\\\sf{\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{5}{4}}\\\\\\\boxed{\sf{n_2=\dfrac{5}{4}n_1}}\qquad\sf{(7)}$

8. De acordo, com o enunciado temos um total de 9 ventres, então:

$\sf{n_1+n_2=9}\\\\\sf{n_1+\dfrac{5}{4}n_1=9}\\\\\sf{9n_1=36}\\\\\therefore \boxed{\sf{n_1=4}}\quad\rightarrow\quad\boxed{\sf{n_2=5}}$

9. A componente horizontal do peso deve equilibrar a força tensora da corda. Como as forças F₁ e F₂ são iguais posso escolher qualquer uma delas para determinar o ângulo procurado. Vou escolher F₁, logo:

$\sf{P_x=F_1=F_2}\\\\\sf{P_x=Psen\,\theta}\\\\\sf{m\cdot g\cdot sen\,\theta=4\mu_1\bigg(\dfrac{L_1f}{n_1}\bigg)^2}\\\\\\\sf{sen\,\theta=\dfrac{4\mu_1}{m\cdot g}\bigg(\dfrac{L_1f}{n_1}\bigg)^2}$

$\sf{sen\,\theta=\dfrac{4\cdot(1,95\cdot10^{-3})}{0,25\cdot10}\cdot\bigg(\dfrac{0,64\cdot78}{4}\bigg)^2}}\\\\\\\sf{sen\,\theta\approx0,50}\\\\\therefore \boxed{\sf{\theta=30^o}}}$

b)

1. Para esse item vou usar a potência média (taxa média de transformação  de energia) de uma onda estacionária:

$\boxed{\sf{P_{med}=\dfrac{1}{2}\cdot \mu \cdot v \cdot \omega^2 \cdot A^2}}$

onde:

μ = densidade linear da corda

v = velocidade

ω = frequência angular (ω = 2πf)

A = amplitude

2. Pelo princípio da conservação da energia as potências médias nos fios 1 e 2 devem ser iguais:

$\sf{P_1=P_2}$

$\sf{\dfrac{1}{2}\cdot \mu_1 \cdot v_1 \cdot \omega^2 \cdot A_1^2}=\sf{\dfrac{1}{2}\cdot \mu_2 \cdot v_2 \cdot \omega^2 \cdot A_2^2}$

$\sf{\mu_1\sqrt{\dfrac{F_1}{\mu_1}}\cdot A_1^2=\mu_2\sqrt{\dfrac{F_2}{\mu_2}}\cdot A_2^2$

$\sf{\dfrac{\mu_1}{\sqrt{\mu_1}}\cdot A_1^2=\dfrac{\mu_2}{\sqrt{\mu_2}}\cdot A_2^2}$

$\sf{\bigg(\dfrac{A_1}{A_2}\bigg)^2=\dfrac{\mu_2}{\mu_1}\cdot \sqrt{\dfrac{\mu_1}{\mu_2}}$

$\sf{\bigg(\dfrac{A_1}{A_2}\bigg)^2=\dfrac{7,8}{1,95}\cdot \sqrt{\dfrac{1,95}{7,8}}$

$\sf{\bigg(\dfrac{A_1}{A_2}\bigg)^2=2}}\\\\\\\therefore \boxed{\sf{\dfrac{A_1}{A_2}=\sqrt{2}}}$

Obs.: Essa questão foi respondida em conjunto com o colega da equipe Brainly, Irodov (https://brainly.com.br/app/profile/17929818) o qual agradeço imensamente a ajuda.

Bons estudos!

Equipe Brainly