Question

Preciso de ajuda para calcular esse limite. Por favor faça o passo a passo.

lim Sen² (x / 2)
x -> 0

Answer 1

Resposta:

1/4

Explicação passo-a-passo:

Nessa questão você precisa usar o seguinte fato além das propriedades usuais de limites:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$

Observe que isso implica o seguinte:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin \frac x2}{\frac x2} = 1$  

De maneira geral se f(x) tende a 0 quando x tende a 0 vale que

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin f(x)}{f(x)} = 1$

Assim, na nossa questão temos:$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 (\frac x2) }{ x^2} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{ \dfrac { \sin^2 (\frac x2)}{4} }{ \dfrac {x^2}{4}} = \lim_{x \to 0} \dfrac 14 \cdot \dfrac{ \sin^2 (\frac x2)}{ (\frac {x}{2})^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac 14 \cdot \dfrac{\sin (\frac x2) }{ \frac x2} \cdot \dfrac{\sin (\frac x2) }{ \frac x2}$

Usando os limites acima e as propriedades temos:

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 (\frac x2) }{ x^2} = \dfrac 14 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\frac x2) }{ \frac x2} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin (\frac x2) }{ \frac x2}\right)= \dfrac 14$