Question

Preciso de ajuda nessa integral.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\ln(1+e^x)+x+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Devemos resolver esta integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{2e^{2x}}{e^x+e^{2x}}+\dfrac{e^{x}}{e^x+e^{2x}}\,dx$

Para isso, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração

Reescreva o produto no numerador como uma soma: $2e^{2x}=e^{2x}+e^{2x}$

$\displaystyle{\int \dfrac{e^{2x}+e^{2x}}{e^x+e^{2x}}+\dfrac{e^{x}}{e^x+e^{2x}}\,dx$

Então, separe a primeira fração como uma soma de frações

$\displaystyle{\int \dfrac{e^{2x}}{e^x+e^{2x}}+\dfrac{e^{2x}}{e^x+e^{2x}}+\dfrac{e^{x}}{e^x+e^{2x}}\,dx$

Some a segunda e terceira frações

$\displaystyle{\int \dfrac{e^{2x}}{e^x+e^{2x}}+\dfrac{e^{x}+e^{2x}}{e^x+e^{2x}}\,dx$

Simplifique a segunda fração

$\displaystyle{\int \dfrac{e^{2x}}{e^x+e^{2x}}+1\,dx$

Sabendo que $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx \pm\int g(x)\,dx$, temos

$\displaystyle{\int \dfrac{e^{2x}}{e^x+e^{2x}}\,dx+\int 1\,dx$

Sabendo que $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ e $x^0=1$, temos

$\displaystyle{\int \dfrac{e^{2x}}{e^x+e^{2x}}\,dx+x+C_1$, em que $C_1$ é a constante de integração

Nesta integral, multiplique o numerador e o denominador por $e^{-x}$

$\displaystyle{\int \dfrac{e^{2x}\cdot e^{-x}}{(e^x+e^{2x})\cdot e^{-x}}\,dx+x+C_1}\\\\\\\\\ \displaystyle{\int \dfrac{e^x}{1+e^x}\,dx+x+C_1}$

Faça uma substituição $u=1+e^x$. Diferencie ambos os lados em relação a $x$ para obter o diferencial $du$:

$u'=(1+e^x)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada da função exponencial é a própria função exponencial.

Aplique a regra da soma

$\dfrac{du}{dx}=(1)'+(e^x)'$

Calcule as derivadas

$\dfrac{du}{dx}=e^x$

Isole $dx$

$dx=\dfrac{du}{e^x}$

Substituindo estes dados na integral, temos

$\displaystyle{\int \dfrac{e^x}{u}\cdot\dfrac{du}{e^x}+x+C_1}$

Multiplique as frações

$\displaystyle{\int \dfrac{du}{u}+x+C_1}$

Sabendo que $\displaystyle{\int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|$, temos

$\ln|u|+C_2+x+C_1$

Desfaça a substituição e considere $C_1+C_2=C$

$\ln|1+e^x|+x+C,~C\in\mathbb{R}$

Sabendo que $1+e^x>0,\forall{x}\in\mathbb{Z}$, temos

$\ln(1+e^x)+x+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.