Question

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Determine a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos “x”, da curva dada por y = x + 5 , no intervalo de x entre 1 e 2.

Answer 1

➜ A área da superfície do sólido é $13\pi\sqrt2$.

☞ A área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno do eixo x da curva y = f(x) , no intervalo x = a e x = b, é dada pela fórmula:

$\Large\boxed{2\pi \int\nolimits _{a}^{b} y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} dx}$

Dado $y=x+5$, temos $dy/dx=1$ e $(dy/dx)^2=1$. Do enunciado,os limites de integração são 1 e 2. Inserindo na fórmula

$\Large\begin{array}{l}\displaystyle2\pi \int\nolimits _{1}^{2}( x+5)\sqrt{1+1} dx=2\pi \sqrt{2}\int\nolimits _{1}^{2} x+5dx=\\\\=2\pi \sqrt{2}\left[\frac{x^{2}}{2} +5x\right]_{1}^{2}\\\\=2\pi \sqrt{2}\left\{\frac{( 2)^{2}}{2} +5( 2) -\left[\frac{( 1)^{2}}{2} +5( 1)\right]\right\}\\\\=2\pi \sqrt{2}\left[ 2+10-\left(\frac{1}{2} +5\right)\right]\\\\=2\pi \sqrt{2} \cdotp \frac{13}{2}\\\\=\boxed{\boxed{13\pi \sqrt{2}}}\end{array}$

∴ A área da superfície buscada é $13\pi\sqrt2$

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