Question

Preciso de ajuda na proposta 1 e 2.

1.Indica, em cada caso, o grau do polinómio A(x).

2.Em cada uma das seguintes divisões inteiras de polinómios, determina na forma reduzida o polinómio dividendo D(x).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Olá!

Para realizar a multiplicação entre dois polinômios aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Ou seja, cada termo do primeiro polinômio será multiplicado por todos os termos do segundo.

1.1)

$A(x)=14x^{5}+35x^{4}-17x^{3}-21x^{2}+15x-2$

$B(x)=2x^{2}+5x-1$

$A(x) * B(x)=$

$=(14x^{5}+35x^{4}-17x^{3}-21x^{2}+15x-2)*(2x^{2}+5x-1)$

$=14x^{5}*(2x^{2}+5x-1)+35x^{4}*(2x^{2}+5x-1)-17x^{3}*(2x^{2}+5x-1)}-21x^{2}*(2x^{2}+5x-1)+15x*(2x^{2}+5x-1)-2*(2x^{2}+5x-1)$

$=(28x^{7}+70x^{6}-14x^{5})+(70x^{6}+175x^{5}-35x^{4})-(34x^{5}+85x^{4}-17x^{3})}-(42x^{4}+105x^{3}-21x^{2})+(30x^{3}+75x^{2}-15x)-(4x^{2}+10x-2)$

$=28x^{7}+70x^{6}-14x^{5}+70x^{6}+175x^{5}-35x^{4}-34x^{5}-85x^{4}+17x^{3}-42x^{4}-105x^{3}+21x^{2}+30x^{3}+75x^{2}-15x-4x^{2}-10x+2$

$=28x^{7}+70x^{6} +70x^{6} -14x^{5} +175x^{5} -34x^{5} -35x^{4} -85x^{4} -42x^{4} -105x^{3} +17x^{3}+30x^{3} +75x^{2} +21x^{2} -4x^{2} -15x -10x +2$

$=28x^{7}+140x^{6} +127x^{5} -196x^{4} -88x^{3} -58x^{3}+92x^{2} -25x +2$

Ou seja, o grau do polinômio A(x)*B(x) é 7

Para evitar esse processo trabalhoso, podemos encontrar o grau do polinômio observando que apenas é preciso ver o grau resultante da multiplicação dos termos de maior grau dos dois polinômios. Veja que 14x^5 tem grau 5 e 2x² tem grau 2, por isso o polinômio produto tem grau 7.

1.2) $4x^{6}*x^{2} = 4x^{8}$

O polinômio tem grau 8.

1.3) $9x^{8}*3x^{4} = 27x^{12}$

O polinômio tem grau 12.

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Numa divisão (tanto de números quanto de polinômios) temos os termos dividendo, divisor, quociente e resto.

37: 2 = 18 + resto 1, pois

37 = (2*18) +1

Da mesma forma, com dois polinômios D(x) e P(x) temos:

D(x) : P(x) = Q(x) +R(x), pois

D(x) = P(x) * Q(x) +R(x)

2.1)

P(x) = 3x +1

Q(x) = -2x^2 +5x

R(x) = 3

Portanto:

D(x) = P(x) * Q(x) +R(x)

$D(x)=(3x+1)*(-2x^{2}+5x)+3$

$D(x)=3x(-2x^{2}+5x) +1(-2x^{2}+5x)+3$

$D(x)=-6x^{3}+15x^{2} -2x^{2}+5x+3$

$D(x)=-6x^{3}+13x^{2} +5x+3$

2.2)

D(x) = x³-3x +2

Q(x) = 2x² -x

R(x) = x -4

D(x) = P(x) * Q(x) +R(x)

$D(x)=(x^{3}-3x+2)*(2x^{2}-x)+(x-4)$

$D(x)= 2x^{5} -x^{4}-6x^{3}+3x^{2}+4x^{2}-2x+x-4$

$D(x)= 2x^{5} -x^{4}-6x^{3}+7x^{2}-x-4$

2.3)

D(x) = -x³ +x -2

Q(x) = -x² +2x

R(x) = x²-x

D(x) = P(x) * Q(x) +R(x)

$D(x)=(-x^{3}+x-2)(-x^{2}+2x)+(x^{2}-x)$

$D(x)= x^{5}-2x^{4}-x^{3}+2x^{2}+2x^{2}-4x+x^{2}-x$

$D(x)= x^{5}-2x^{4} -x^{3}+5x^{2}-5x$

Pronto. Aí estão os cálculos.

Se o site não excluísse respostas em imagem, fazer à mão seria beeeem mais rápido do que digitar em linguagem látex... Mas para garantir que você terá as respostas, aí estão.

Bons estudos para você.