Question

Preciso de ajuda na letra C

Answer 1

c)
P(n): 9 + 9 x 10 + 9 x 100 + 9 x 10^(n-1) = 10^n - 1
P(1): 9 = 10 - 1
P(2): 99 = 100 - 1
P(3): 999 = 1000 - 1
e assim por diante.

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Primeira parte: verificar que P(1) é verdadeira.

Basta verificar fazendo a substituição de n por 1. Obtemos

P(1): 9 x 10^(1-1) = 10^1 - 1
P(1): 9 x 1 = 10 - 1
P(1): 9 = 9

O que é uma verdade.
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Segunda parte: indução.
Para isso, devemos tomar P(n) como verdadeira para algum n, e concluir que P(n+1) é verdadeira.
Somando 9 x 10^n nos dois lados de P(n):

9 + 9 x 10 + 9 x 100 + ... + 9 x 10^(n-1) + 9 x 10^n = 10^n - 1 + 9 x 10^n
Trabalhando apenas no segundo lado da equação:
10^n - 1 + 9 x 10^n =
9 x 10^n + 10^n - 1 =
(9 + 1) x 10^n - 1 =
10 x 10^n - 1 =
10^(n+1) - 1
Então,
9 + 9 x 10 + 9 x 100 + ... + 9 x 10^(n-1) + 9 x 10^n = 10^(n+1) - 1

O que é justamente P(n+1). Portanto, P(n) -> P(n+1), cqd...