Question

Preciso de ajuda.
Dada a relação de IR em IR definida por x² + y² - 4x + 8y +16 = 0, determine o domínio e a imagem de $R^{-1}$.

Answer 1

Boa tarde Rosana!

Solução!

Veja que essa equação representa uma circunferência,para responder aos dois questionamentos vamos ter que encontra o centro e o raio da mesma completando os quadrados.

$x^2+y^2-4x+8y+16=0$

$x^2-4x+y^{2} +8y=-16$

Lembrando que para essa resolução temos que lembrar de produtos notáveis.

$(a+b)^{2}=a ^{2}+2ab+b^{2}$

$x^{2} -4x+4+y^{2}+8y+16=-16$

$x^{2} -4x+4+y^{2}+8y+16=-16+16+4$

$(x-2)^{2}+(y+4)^{2}=4$

$(x-2)^{2}+(y+4)^{2}=\sqrt{4}$

$(x-2)^{2}+(y+4)^{2}=2$

$C(2,-4)$

$r=2$

Com esses dados podemos escreve o domínio e a imagem.

Domínio: são os números que estão compreendidos entre os extremos do diâmetro no eixo horizontal x.

Imagem: São os números que estão compreendidos entre os extremo do diâmetro no eixo vertical y.

$Dominio=[0,1,2,3,4]$

Ou simplesmente

$Dominio=[0,4]$

Eixo vertical.y

$Imagem=[-6,-5,-4,-2]$


Ou simplesmente.

$Imagem=[-6,-2]$

$R=[(0,4);(1,-4);(2,-4);(3,-4);(4,-4)]$

Para fazer a relação inversa, basta inverter  o domínio.

$R^{-1}=[(-4,0);(-4,1);(-4,2);(-4,3);(-4,4)}]$

Boa tarde!
Bons estudos!