Question

Preciso das contas e da explicação, a resposta é letra A.​

Answer 1

Temos os seguintes dados:

$\underbrace{F_f \left( 1 , - \frac{15}{4} \right)}_{foco}\: \: \: e \: \: \: \underbrace{y = - \frac{17}{4} }_{reta \: diretriz}$

Pelo foco já podemos ver que a parábola não possui o centro na origem, pois a coordenada "x" do foco é 1 e como sabemos, o foco, o vértice e diretriz estão alinhados. Sabendo da coordenada "x" vamos procurar a coordenada "y" do vértice, mas para isso vamos iniciar escrevendo a reta diretriz em forma de ponto (x, y):

$\underbrace{F_f \left( 1 , - \frac{15}{4} \right)}_{foco}\: \: \: e \: \: \: \underbrace{D \left(1, - \frac{17}{4} \right) }_{reta \: diretriz}$

Sabemos que a distância entre o vértice e a diretriz é igual ao "parâmetro (p)", então vamos buscar esse resultado usando a relação distância entre dois pontos, dada por:

$d_{F_f,D}= \sqrt{ (x_{Ff }- x _D) {}^{2} + (y_{Ff }- y _D } ) {}^{2}$

Organizando os dados da diretriz e do foco:

$F_f \left(1, - \frac{15}{4} \right ) \to x_{Ff } = 1\: \: e \: \: y_{Ff } = - \frac{15}{4} \\ D\left( 1, - \frac{17}{4} \right) \to x_{D } = 1 \: \: e \: \: y_{D } = - \frac{17}{4} \:$

Substituindo os dados na relação:

$d_{F_f,D}= \sqrt{(1 - 1) {}^{2} + \left( - \frac{15}{4} + \frac{17}{4} \right) {}^{2} } \\ d_{F_f,D}= \sqrt{0 + \left( \frac{2}{4} \right) {}^{2} } \\ d_{F_f,D}= \sqrt{ \frac{1}{4} } \\ d_{F_f,D}= \frac{1}{2}$

Portanto temos que o parâmetro (p) é igual a 1/2. A distância do vértice até a reta diretriz ou até o foco é a mesma, então vamos dividir o parâmetro por 2 para descobrir a tal distância:

$\frac{ \frac{1}{2} }{2} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \\ \\ \boxed{\frac{p}{2} = \frac{1}{4} }$

Agora vamos subtrair o valor da coordenada "y" do foco por 1/4, já que o foco se encontra acima do vértice, ou seja, temos que a fazer a subtração da coordenada de cima (foco) pela medida do parâmetro.

$- \frac{15}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{16}{4} = - 4$

Portanto o vértice é dado por:

$V(1, - 4)\to v\acute{e}rtice$

A nossa parábola tem a concavidade para cima, já que a diretriz está na parte negativa, logo a equação que define ela é dada por:

$x {}^{2} = 2py$

Mas como sabemos, a parábola não está na origem, então temos que subtrair de "x" e "y" a coordenada onde o centro se encontra:

$(x - x_0) {}^{2} = 2p.(y - y_0)$

Os elementos xo e yo são os valores do vértice. Substituindo os dados na relação:

$(x - 1) {}^{2} = 2. \frac{1}{2} (y - ( - 4)) \\ \\ (x - 1) {}^{2} = 1.(y + 4) \\ \\ x {}^{2} - 2x + 1 = y + 4 \\ \\ \boxed{ x { }^{2} - 2x = y + 3}$

Espero ter ajudado