Question

preciso da resolução dessa questão, eu fiz mas estou em dúvida.​

Answer 1

Resposta:

$\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}} + \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}} = 4$

Explicação passo a passo:

Sabemos que quando temos uma raiz nessa forma   $\sqrt{\frac{x}{y}}$ podemos escreve-la como  $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ e usaremos isso para resolver o exercício:

$\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}} + \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} + \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Na primeira equação multiplicaremos em cima e embaixo por $\sqrt{2+\sqrt{3}}$, já na segunda por $\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Segue que

                    $\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}+\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}$

Sabemos também que o produto das raízes é a raiz do produto, portanto,

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}} = \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2 = 2+\sqrt{3}$

$\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}} = \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2 = 2-\sqrt{3}$

$\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\left( (2+\sqrt{3}) \cdot (2-\sqrt{3}) \right)} = \sqrt{2^2 - \sqrt{3}^2} = \sqrt{4-3} = 1$

Com isso temos

$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} + \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 4$, portanto

$\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}} + \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}} = 4$