Question

Preciso com urgência.

Ache o conjunto solução
A)
$3 + \sqrt{x - 2} = \sqrt{5x + 1}$
B)
$\sqrt{7 - x} + x = 1$

​

Answer 1

Resposta:

a) x = 3  e x = 9/4

b) x = -2

Explicação passo a passo:

Neste exercício temos equações irracionais.

O modo de as resolver é :

• Isolar um radical em cada membro da equação.

• Elevar ambos os membros ao quadrado
• Verificar, na equação original, as soluções encontradas; podem não servir todas; pois quando se eleva ao quadrado estamos a fazer surgir soluções que podem não são válidas na equação original

$a) 3+\sqrt{x-2} =\sqrt{5x+1}$

$( 3+\sqrt{x-2} )^2=(\sqrt{5x+1})^2$

Primeiro membro tem um produto notável, quadrado de uma soma

$3^2+2*3*\sqrt{x-2} +(x-2)=5x+1$

$9+6\sqrt{x-2} +x-2=5x+1$

$6\sqrt{x-2}=5x+1-9-x+2$

$\sqrt{x-2}=\frac{4x}{6} -\frac{6}{6}$

$\sqrt{x-2}=\frac{2x}{3} -1$

Voltar a elevar cada membro ao quadrado

$(\sqrt{x-2})^2=(\frac{2x}{3} -1)^2$

$x-2= \frac{4x^{2} }{9} +2*\frac{2x}{3}*(-1)+(-1)^2$

$x-2= \frac{4x^{2} }{9} -\frac{4x}{3}+1$

$\frac{4x^{2} }{9} -\frac{4x}{3}+1 - x + 2 = 0$

$\frac{4x^{2} }{9} -\frac{4x}{3}+3 - x = 0$

$\frac{4x^{2} }{9} -\frac{4x*3}{3*3}+\frac{3*9}{1*9} - \frac{9*x}{1*9} = 0$

${4x^{2} -12x+27 - 9x = 0$

${4x^{2} -21x+27 = 0$

Fórmula de Bhascara

x = (  - b ± √Δ ) / 2*a   com Δ = b² - 4 *a * c

a =   4

b = - 21

c =   27  

Δ = ( -21)² - 4 * 4 * 27 = 441 -  432 = 9

√Δ = √9 = 3

x1 = ( - (- 21) + 3 ) /(2*4)

x1 = ( 21 + 3 ) / 8

x1 = 24 / 8

x1 = 3

x2 =   ( - (- 21) - 3 ) /8

x2 = ( 21 - 3 ) / 8

x2= 18 / 8

x2 = 9/4

Verificação, na equação original, das soluções encontradas

x = 3

$3+\sqrt{3-2} =\sqrt{5*3+1}$

$3+1=\sqrt{16}$

$4 = 4$           verdadeiro      3 serve como solução

x = 9/4

$3+\sqrt{\frac{9}{4} -2} =\sqrt{5*\frac{9}{4} +1}$

$3+\sqrt{\frac{9}{4} -\frac{8}{4} } =\sqrt{\frac{45}{4} +\frac{4}{4} }$

$3+\sqrt{\frac{1}{4} } =\sqrt{\frac{49}{4}$

$3+\frac{1}{2} =\frac{7}{2}$

$\frac{6}{2} +\frac{1}{2} =\frac{7}{2}$

$\frac{7}{2} =\frac{7}{2}$              verdadeiro    9/4 serve como solução

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$b) \sqrt{7-x} +x=1$    

$(\sqrt{7-x})^2=(1 - x)^2$

$7-x=1^2+2*1*(-x)+(-x)^2$

$7-x=1-2x+x^2$

$x^{2} -2x+x+1-7=0$      

 

$x^{2} -x-6=0$

a =  1

b = - 1

c = - 6

Δ = ( - 1 )² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

√Δ = √25 = 5

x1 = ( - ( - 1 ) + 5 )/2*1

x1 = ( 1 + 5 ) /2

x1 = 6/2

x1 = 3

x2 =  ( - ( - 1 ) - 5 )/2

x2 = ( 1 - 5 )/2

x2 = - 4/2

x1 = - 2

Verificar na equação original as soluções encontradas

x = 3

$\sqrt{7-3} +3=1$

$\sqrt{4} +3=1$

$2+3=1$     falso ;    3  não serve como solução

x = - 2

$\sqrt{7-(-2)} -2=1$

$\sqrt{7+2} -2=1$

$\sqrt{9} -2=1$

$3-2=1$     verdadeiro    ;   - 2  serve como solução

Bons estudos.

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Símbolos:  ( / ) divisão       ( x ) multiplicação  

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{3 + \sqrt{x - 2} = \sqrt{5x + 1}}$

$\mathsf{9 + 6\sqrt{x - 2} + (x - 2) = 5x + 1}$

$\mathsf{6\sqrt{x - 2}= 4x - 6}$

$\mathsf{36(x - 2)= 16x^2 - 48x + 36}$

$\mathsf{36x - 72= 16x^2 - 48x + 36}$

$\mathsf{16x^2 - 84x + 108 = 0}$

$\mathsf{4x^2 - 21x + 27 = 0}$

$\mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}$

$\mathsf{\Delta = (-21)^2 - 4.4.27}$

$\mathsf{\Delta = 441 - 432}$

$\mathsf{\Delta = 9}$

$\mathsf{x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{21 \pm \sqrt{9}}{8} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{x' = \dfrac{21 + 3}{8} = \dfrac{24}{8} = 3}\\\\\mathsf{x'' = \dfrac{21 - 3}{8} = \dfrac{18}{8} = \dfrac{9}{4}}\end{cases}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left\{3;\dfrac{9}{4}\right\}}}}$

$\mathsf{\sqrt{7 - x} + x = 1}$

$\mathsf{\sqrt{7 - x} = 1 - x}$

$\mathsf{7 - x = 1 - 2x + x^2}$

$\mathsf{x^2 - x - 6 = 0}$

$\mathsf{\Delta = b^2 - 4.a.c}$

$\mathsf{\Delta = (-1)^2 - 4.1.(-6)}$

$\mathsf{\Delta = 1 + 24}$

$\mathsf{\Delta = 25}$

$\mathsf{x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \rightarrow \begin{cases}\mathsf{x' = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = 3}\\\\\mathsf{x'' = \dfrac{1 - 5}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2}\end{cases}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{S = \left\{-2\}}}}$