Question

Preciso achar esse limite:
$L=\lim_{x\to\infty} \dfrac{(x+1)^x-e\cdot x^x}{e\cdot x^{x-1}}$

Uma das estratégias que eu tentei usar foi aplicar a igualdade
$e=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$, porém sem muitos resultados.

Answer 1

Resposta:

Lim x-->∞  ((x+1)^x -e*x^(x)) / (e * x^(x)*x^(-1))

Lim x-->∞  ((x^(x))(1+1/x)^x -e*x^(x)) / (e * x^(x)*x^(-1))

Lim x-->∞  ((1+1/x)^x -e) / (e *x^(-1))

Lim x ((1+1/x)^x-e) / e

x-->∞

(1/e) * Lim x ((1+1/x)^x-e) / e

          x-->∞

x((1+1/x)^x-e) / e  ==> Expandido a série para x = ∞

=-e/2 +11e/24x -7e/16x²+2447/5769x³-959/2304x^4 +o((1/x)^5)

atenção ==>o((1/x)^5)  ~ 0

(1/e) * Lim x ((1+1/x)^x-e)

          x-->∞

=  

(1/e)*Lim -e/2 +11e/24x -7e/16x²+2447/5769x³-959/2304x^4

         x-->∞              

   

=(1/e)* (-e/2) = -1/2  é a resposta