Question

PRA HOJE !


1 - Considere o ponto A( 3, -2 ) e a circunferência de equação geral x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0. Determine a posição desse ponto em relação à circunferência.


Calculamos a distância do ponto A ao centro da circunferência e comparamos o resultado com a medida do raio:



2 - Dados o ponto P( k, 2 ) e a circunferência de equação x^2 + y^2 - 2x + 6y - 31 = 0, determine todos os possíveis valores de k tal que

a) P seja exterior à circunferência;


b) P seja interior à circunferência;


c) P pertença à circunferência.

Answer 1

Resposta:

Vide fotos anexas

Explicação passo-a-passo:

Abs :)

Answer 2

Questão 1: Calculando a distância entre o ponto e o centro da circunferência e comparando com o raio, temos que, o ponto é interior à circunferência.

Questão 2: Utilizando a fórmula de distância entre pontos e a medida do raio da circunferência, temos que:

a) P será exterior à circunferência se $k < 1 - 2 \sqrt{10}$ ou $1 + 2 \sqrt{10} < k$

b) P será interior à circunferência quando $1 - 2 \sqrt{10} < k < 1 + 2 \sqrt{10}$

c) P pertence à circunferência para $k = 1 - 2 \sqrt{10}$ ou $1 + 2 \sqrt{10} = k$

Questão 1: qual a posição relativa?

Vamos reescrever a equação da circunferência na forma reduzida:

$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2$

Pela fórmula de distância entre dois pontos no plano, podemos escrever:

$d(A, C) = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} < 3$

Onde C é o centro da circunferência. Portanto, o ponto é interior à circunferência.

Questão 2: análise da posição relativa entre o ponto e a circunferência

Simplificando a equação da circunferência, temos que:

$x^2 + y^2 -2x + 6y - 31 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 + (y+3)^2 = (\sqrt{41})^2$

Denotando por O o centro da circunferência, temos que, pela fórmula de distância entre dois pontos, podemos concluir que:

$d(P, O) = \sqrt{(k - 1)^2 + (3 -2)^2} = \sqrt{k^2 - 2k + 2}$

Temos que:

$k^2 - 2k + 2 = 41 \Rightarrow k = 1 \pm 2 \sqrt{10}$

Comparando com a medida do raio da circunferência:

• Ponto interior se $1 - 2 \sqrt{10} < k < 1 + 2 \sqrt{10}$
• Ponto exterior se $k < 1 - 2 \sqrt{10}$ ou $1 + 2 \sqrt{10} < k$
• O ponto pertence à circunferência se $k = 1 - 2 \sqrt{10}$ ou $1 + 2 \sqrt{10} = k$

Para mais informações sobre circunferência, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/49695561

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