Question

Possivelmente o Cálculo da área entre curvas seja a aplicação mais comum das integrais. Esta aplicação decorre da própria ideia de integral, que é a área de uma região plana sob uma curva. Assim, partiremos do conceito de integral como área e expandiremos para área entre curvas. (Fonte: )

Considerando o descrito acima qual é a área limitada pelas curvas y=x² e y=x?


Alternativas
Alternativa 1:
0

Alternativa 2:
1

Alternativa 3:
1/3

Alternativa 4:
1/2

Alternativa 5:
1/6

Answer 1

1ª etapa) Vamos chamar a curva $y = x^2$ de $f(x)$ e $y = x$ de $g(x)$:

$f(x) = x^2\\g(x) = x$

.

A área limitada pelas curvas $f$ e $g$ pode ser obtida através da integral

$A = \int\limits^b_a {[f(x) - g(x)]} \, dx$

.

2ª etapa) A integral é definida num intervalo [a,b]. Precisamos estabelecer determinar quem são estes valores. Para isso, vamos igualar as funções $f(x)$ e  $g(x)$ e obter os pontos em que ambas as curvas irão se encontrar.

$f(x) = g(x)\\x^2 = x\\x^2 - x = 0\\x(x - 1) = 0$

$x = [0;1]$ ⇒ $a = 0$ e $b = 1$

3ª etapa) Voltando para a fórmula da área, vamos substituir os valores que encontramos:

$A = \int\limits^b_a {[f(x) - g(x)]} \, dx$

$A = \int\limits^1_0 {[x^2 - x]} \, dx$

$A = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}]$ no intervalo de [0,1]

$A = (\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2})$

$A = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{6}$ = $\frac{1}{6} . (-1) = \frac{1}{6}$

Como a área é sempre positiva, será igual a 1/6 u.a, alternativa 5