Question

Porque que simplificando a expressão:

 

x² + y² - z² + 2xy

--------------------------------

x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz

 

obtemos:

 

x + y - z

-------------

x + y + z              ?????

Answer 1

Olá, Gene510.

 

Vamos rearranjar os termos do numerador e do denominador de modo que possamos enxergar e evidenciar os produtos notáveis ali ocultos.

 

Assim:

 

$<var>\frac{x^2 + y^2 - z^2 + 2xy}{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + \underbrace{2xz + 2yz}_{=2(x + y)z}}=\frac{\overbrace{x^2 + 2xy + y^2}^{=(x+y)^2} - z^2}{\underbrace{x^2 + 2xy + y^2}_{=(x+y)^2} + 2(x + y)z + z^2}=</var>$

 

 

 $=\frac{\overbrace{(x + y)^2 - z^2}^{\text{diferen\c{c}a dos quadrados de }(x+y)\text{ e }z}}{\underbrace{(x + y)^2 + 2(x + y)z + z^2}_{\text{quadrado da soma de }(x+y)\text{ e }z}}}=\frac{[(x + y) + z][(x + y) - z]}{[(x + y) + z]^2}= \\\\\\ = \frac{(x + y + z)(x + y - z)}{(x + y + z)^2}=\boxed{\frac{x + y - z}{x + y + z}}$