Question

Por um ponto P distante de 18 cm de uma circunferência, traça-se uma secante que determina, na circunferencia, uma corda de AB de medida 10 cm. Calcule o comprimento da tangente a essa circunferência traçada do ponto P, sabendo que AB passa pelo Centro da circunferência.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Alexandre, que a resolução é simples.
Tem-se que, de um ponto P, distante 18 cm de uma circunferência, traça-se uma secante que determina, na circunferência uma corda AB de medida de 10cm.
Pede-se para calcular o comprimento da tangente a essa circunferência, traçada do ponto P, sabendo-se que AB passa pelo centro da circunferência.
Vamos chamar o ponto de tangência de T e, assim, o segmento de reta tangente que parte de P será o segmento PT.
Veja que há uma relação entre tangentes e secantes a circunferências, que é esta: o quadrado do segmento que é tangente à circunferência deverá ser igual ao produto da medida do segmento que vai até à circunferência vezes o segmento que vai de P até o outro extremo do segmento secante à circunferência.
No caso da sua questão, teremos isto:

(PT)² = (PA)*(PB) ----- como PA = 28cm (pois é 18+10 = 18) e o segmento PB = 18cm, teremos:

(PT)² = 28*18
(PT)² = 504
PT = ± √(504) ---- veja que 504 = 2³.3².7¹ = 2².2¹.3².7 = 2².3².2.7 = 2².3².14. Assim, substituindo, teremos;

PT = ± √(2².3².14) --- note que o "2" e o "3", por estarem ao quadrado, sairão de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos:

PT = ± 2.3√(14) --- ou apenas:
PT = ± 6√(14) ----- como a medida de PT não pode ser negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

PT = 6√(14) cm <--- Esta é a resposta. Esta é a medida do segmento PT, que é o segmento que parte de P e é tangente à circunferência.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.