Question

por que o somatório da soma finita 1² + 2²+ 3² + ... + 50 ²
Resulta na fórmula da imagem anexada?

Answer 1

Vamos mostrar, usando o princípio da indução finita, que

$\displaystyle\sum_{n=1}^{k}n^{2}=\dfrac{(k+1)\cdot k\cdot(2k+1)}{6}~~~para~k\ge1$
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Verificando validade para $k=1$:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{1}n^{2}=1^{2}=1=\dfrac{2\cdot1\cdot3}{6}=\dfrac{(\mathbf{1}+1)\cdot\mathbf{1}\cdot(2\times\mathbf{1}+1)}{6}~~~~~(\checkmark)$

Assumindo validade para $k=m~\textgreater~1$, ou seja:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{m}n^{2}=\dfrac{(m+1)\cdot m\cdot(2m+1)}{6}$

Precisamos mostrar que a fórmula é válida para $k=m+1$

Partindo da hipótese de indução, temos

$\displaystyle\sum_{n=1}^{m}n^{2}=\dfrac{(m+1)\cdot m\cdot(2m+1)}{6}$

Somando $(m+1)^{2}$ aos dois lados da igualdade:

$(m+1)^{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{m}n^{2}=(m+1)^{2}+\dfrac{(m+1)\cdot m\cdot(2m+1)}{6}\\\\\\\sum_{n=1}^{m+1}n^{2}=\dfrac{6(m+1)^{2}+(m+1)\cdot m\cdot(2m+1)}{6}$

Colocando $m+1$ em evidência:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{m+1}n^{2}=\dfrac{(m+1)\cdot[6(m+1)+m\cdot(2m+1)]}{6}\\\\\\\sum_{n=1}^{m+1}n^{2}=\dfrac{(m+1)\cdot[6m+6+2m^{2}+m]}{6}\\\\\\\sum_{n=1}^{m+1}n^{2}=\dfrac{(m+1)\cdot(2m^{2}+7m+6)}{6}$

Podemos fatorar $2x^{2}+7x+6$, encontrando suas raízes:

$\Delta=b^{2}-4ac=7^{2}-4\times2\times6=49-48=1\\\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-7\pm1}{4}~\begin{cases}x_{1}=-2\\x_{2}=-\frac{3}{2}\end{cases}$

Portanto,

$2x^{2}+7x+6=2(x-[-2])(x-[-\frac{3}{2}])\\\\=2(x+2)(x+\frac{3}{2})=2(x+2)(\frac{2x+3}{2})=(x+2)(2x+3)$

Voltando, temos

$\displaystyle\sum_{n=1}^{m+1}n^{2}=\dfrac{(m+1)\cdot(2m^{2}+7m+6)}{6}\\\\\\\sum_{n=1}^{m+1}n^{2}=\dfrac{(m+1)\cdot(m+2)\cdot(2m+3)}{6}\\\\\\\sum_{n=1}^{m+1}n^{2}=\dfrac{(m+1)\cdot(\mathbf{m+1}+1)\cdot(2\mathbf{[m+1]}+1)}{6}\\\\\\\sum_{n=1}^{m+1}n^{2}=\dfrac{(\mathbf{m+1}+1)\cdot(\mathbf{m+1})\cdot(2[\mathbf{m+1}]+1)}{6}$

Logo, partindo da validade para $k=m$, mostramos que a fórmula também é válida para $k=m+1$. Portanto, pelo princípio da indução finita, a fórmula vale para todo $k\ge1$