Question

Por que a tangente é uma reta tangente ao ciclo trigonometrico?​

Answer 1

Por definição a tangente é a razão entre o seno e o cosseno. Ou seja:

$\displaystyle{\tan\left(\theta\right)=\frac{\sin\left(\theta\left)}{\cos\left(\theta\right)}}$

Observe na imagem que eu adicionei. Nós temos um círculo unitário (de raio 1) de centro O e um ângulo θ. O segmento verde OC é o cosseno de θ e o segmento vermelho BC é o seno de θ. Perceba que há um segmento azul AD. Esse segmento é a tangente do ângulo θ. O motivo pode ser visto por semelhança de triângulos.

Veja que os triângulos BOC e AOD são semelhantes. Ambos são triângulos retângulos e ambos possuem o mesmo ângulo θ. Com isso nós temos a seguinte relação de semelhança:

$\displaystyle{\frac{BC}{OC}=\frac{AD}{OA}}$

Como o círculo é unitário OA=1, pois OA é o raio do círculo. BC é o seno de θ e OC é o cosseno. Com isso temos que:

$\displaystyle{\frac{\sin\left(\theta\left)}{\cos\left(\theta\right)}=AD}$

Pela nossa definição inicial temos que:

$\displaystyle{AD=\tan\left(\theta\right)}$