Question

Por meio de aplicação da regra da cadeia, obtenha a derivada da seguinte função: A proposição V está correta. A proposição III está correta. A proposição II está correta. A proposição I está correta . A proposição IV está correta.

Answer 1

Resposta:

A proposição III está correta.

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, vamos escrever nossa raiz como uma potência:

$f(x) = {[ {(6 {x}^{2} + 2x + 1 )}^{3} ]}^{ \frac{1}{2} }$

$f(x) = {(6 {x}^{2} + 2x + 1) }^{ \frac{3}{2} }$

Regra do tombamento

Se eu tenho uma função:

f(x) = xⁿ

Sua derivada será:

$f'(x) =n \times {x}^{n - 1}$

Mas e se tiver algo "dentro"? Nesse caso, utiliza-se a regra da cadeia

Regra da cadeia

Se eu tenho uma função dentro da outra, eu derivo a primeira normalmente e multiplico pela derivada da função mais interna.

Exemplo:

f(x) = sen(x³)

f'(x) = cos(x³) × (x³)'

f'(x) = cos(x³) × 3x²

f'(x) = 3x² × cos(x³)

Resolução

Com nossa função ajustada, vamos aplicar a regra do tombamento e a da cadeia:

$f'(x) = \frac{3}{2} {(6 {x}^{2} + 2x + 1) }^{ \frac{3}{2} - 1} \times (6 {x}^{2} + 2x + 1)'$

Obs: derivada de constante é 0.

Obs 2: (6x² + 2x + 1)' = 12x + 2

$f'(x) = \frac{3}{2} \sqrt{6 {x}^{2} + 2x + 1} \times (12x + 2)$

$f'(x) = 3 \times \sqrt{6 {x}^{2} + 2x + 1 } \times (6x + 1)$

O que diz justamente a proposição III.