Question

Por favorzinho alguém me ajuda? Um tanque pode ser cheio por três torneiras A, B e C. Pelas torneiras A e C em 84 minutos. pelas A e B em 70 minutos e por B e C em 140 minutos. Quanto tempo levará cada torneira pra encher o tanque? a) 105, 210, 70 b) 105, 80, 420 c) 105, 210, 420 d) 105, 420, 70 e) 80, 90, 70

Answer 1

Esse é um daqueles problemas clássicos envolvendo torneiras. Para resolvê-lo, suponha inicialmente que x seja o tempo (em minutos) necessário para que a torneira A, sozinha, preencha totalmente o volume V do tanque. Já as toneiras B e C, sozinhas, gastam y e z minutos, respectivamente, para enchê-lo. Ou seja:

$\begin{tabular}{|c|c|} \sf Torneira & \sf Tempo (min)\\ \sf A & \sf x \\ \sf B & \sf y \\ \sf C & \sf z\end{tabular}$

Como vimos acima, a torneira A, sozinha, leva x minutos para encher o referido tanque. Sendo assim, está claro que, a cada minuto, ela preenche 1/x de seu volume. Também podemos deduzir este resultado por meio da seguinte regra de três simples:

$\sf {Torneira\qquad Tempo\ (min) \qquad Volume\ Preenchido}\\ \\ \sf{\ \ \ \ A\qquad\qquad\quad\ \ \ \!\! x\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \ \ V}\\ \\ \sf{\ \ \ \ A\qquad\qquad\quad\ \ \ \!\! 1\qquad\qquad\qquad\quad \ \ \ \ V_1}$

Desconsiderando a primeira coluna, ficaremos com:

$\sf {\ Tempo\ (min) \qquad\quad Volume\ Preenchido}\\ \\ \Bigg\downarrow\!\!\!\!\!\begin{array}{cc}\sf{\quad\ \ x\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ V}\\ \\ \sf{\quad \ \ \ \,1\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ V_1}\end{array}\ \ \ \Bigg\downarrow$

$\sf{\implies\ \ \ \dfrac{x}{1}=\dfrac{V}{\ V_1}}\\\\\\\\ \sf{\!\iff\ \ \ x=\dfrac{V}{\ V_1}}\\\\\\\\ \sf{\implies\ \ \ xV_1=V}\\\\\\\\ \sf{\implies\ \ \ V_1=\dfrac{V}{x}}\\\\\\\\ \sf{\!\iff\ \ \ V_1=\dfrac{1}{x}\ \cdot\ V}$

De maneira análoga, a cada minuto, as torneiras B e C (sozinhas) preenchem, respectivamente, 1/y e 1/z de V. Por conseguinte, fazendo uso das informações fornecidas pelo enunciado, podemos escrever:

$\sf{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{84}\qquad (i)}\\\\\\ \sf{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{70}\qquad(ii)}\\\\\\\ \sf{\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{140}\qquad (iii)}$

Em seguida, adicionando membro a membro as equações (i), (ii) e (iii), temos:

$\sf{\qquad\quad\ \: \ \dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z}=\dfrac{1}{84}+\dfrac{1}{70}+\dfrac{1}{140}}\\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{28}{x}+\dfrac{28}{y}+\dfrac{28}{z}=\dfrac{14}{84}+\dfrac{14}{70}+\dfrac{14}{140}}\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{28}{x}+\dfrac{28}{y}+\dfrac{28}{z}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}}$

$\sf{\iff\ \ \ \dfrac{28}{x}+\dfrac{28}{y}+\dfrac{28}{z}=\dfrac{5}{30}+\dfrac{6}{30}+\dfrac{3}{30}}\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{28}{x}+\dfrac{28}{y}+\dfrac{28}{z}=\dfrac{5+6+3}{30}}\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{28}{x}+\dfrac{28}{y}+\dfrac{28}{z}=\dfrac{14}{30}}\\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{2}{z}=\dfrac{1}{30}}\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{60}\qquad (iv)}$

A equação (iv) nos diz que, a cada minuto, as três torneiras trabalhando em conjunto, preenchem 1/60 do volume V. Agora, para determinar os valores de x, y e z, basta substituir quaisquer duas parcelas do primeiro membro de (iv) pelo valor associado a sua soma. Portanto, o valor de x será:

$\sf{\qquad\quad\ \: \dfrac{1}{x}+\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{60}}\\\\\\\\ \sf{\implies\ \ \ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{140}=\dfrac{1}{60}}\\\\\\\\\ \sf{\!\!\iff\ \ \ \dfrac{20}{x}+\dfrac{20}{140}=\dfrac{20}{60}}\\\\\\\\ \sf{\!\! \iff\ \ \ \dfrac{20}{x}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}}$

$\sf{\iff\ \ \ \dfrac{20}{x}=\dfrac{7-3}{21}}\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{20}{x}=\dfrac{4}{21}}\\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{5}{x}=\dfrac{1}{21}}\\\\\\\\ \sf{\,\implies\ \ \ \dfrac{x}{5}=21}\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ x=21\cdot 5}\\\\\\ \sf{\quad\ \therefore\ \ \ \, \boxed{\sf x=105}}$

Analogamente, y terá valor igual a:

$\sf{\qquad\quad \ \: \dfrac{1}{y}+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{60}}\\\\\\\\ \sf{\implies\ \ \ \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{84}=\dfrac{1}{60}}\\\\\\\\ \sf{\!\!\iff\ \ \ \dfrac{12}{y}+\dfrac{12}{84}=\dfrac{12}{60}}\\\\\\\\ \sf{\!\!\iff\ \ \ \dfrac{12}{y}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}}$

$\sf{\iff\ \ \ \dfrac{12}{y}=\dfrac{7-5}{35}}\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{12}{y}=\dfrac{2}{35}}\\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{6}{y}=\dfrac{1}{35}}\\\\\\\\\ \sf{\,\implies\ \ \ \dfrac{y}{6}=35}}\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ y=35\cdot 6}\\\\\\ \sf{\quad\ \therefore \ \ \ \, \boxed{\sf y=210}}$

Por último, segue o valor de z:

$\sf{\qquad\quad \ \: \dfrac{1}{z}+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{1}{60}}\\\\\\\\ \sf{\implies\ \ \ \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{70}=\dfrac{1}{60}}\\\\\\\\ \sf{\!\!\iff\ \ \ \dfrac{10}{z}+\dfrac{10}{70}=\dfrac{10}{60}}\\\\\\\\\ \sf{\!\!\iff\ \ \ \dfrac{10}{z}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}}$

$\sf{\iff\ \ \ \dfrac{10}{z}=\dfrac{7-6}{42}}\\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ \dfrac{10}{z}=\dfrac{1}{42}}\\\\\\\\ \sf{\,\implies\ \ \ \dfrac{z}{10}=42}}\\\\\\\ \sf{\iff\ \ \ z=42\cdot 10}\\\\\\\ \sf{\quad\ \therefore\ \ \ \, \boxed{\sf z=420}}$

Resposta: letra c).

Answer 2

Para evitar regras de 3, é possível resolver problemas de torneira usando o conceito de vazão. Intuitivamente vazão é a velocidade com que a torneira despeja água. Por exemplo, digamos que uma torneira gasta 1 minuto para encher um recipiente de 5 litros de água. Então a vazão dessa torneira é

Vazão = volume / tempo = 5 L/min =  5 litros por minuto

Voltando ao problema, digamos que a torneira A tem vazão A, a torneira B tem vazão B, e a torneira C tem vazão C. Seja V o volume do tanque e seguindo a notação do Lucas, x,y,z denotam o tempo gasto por cada uma das torneiras para encher sozinha o tanque. Ou seja:

A = V/x

B = V/y

C = V/z

• O tanque é cheio em 70min com as torneiras A e B simultaneamente.

Observamos que com as duas torneiras abertas, a vazão total será A+B. (por exemplo, se uma torneira tem taxa 5L/min e outra tem taxa 2L/min, então a velocidade que o tanque é cheio será 7L/min com ambas torneiras abertas). Assim temos:

(A+B) = V / 70 ⇒ V/x + V/y = V/ 70 ⇒ 1/x + 1/y = 1/70

Pelo mesmo raciocínio segue que

• O tanque é cheio pelas torneiras A e C em 84 min.

(A+C) = V/84 ⇒ V/x + V/z = V/ 84 ⇒ 1/x + 1/z = 1/84

• O tanque enche com as torneiras B e C em 140min.

(B+C) = V/140 ⇒ V/y + V/z = V/ 140 ⇒ 1/y + 1/z = 1/140

Juntando as 3 equações temos o sistema a seguir. Agora não tem segredo mais, basta resolvê-lo (vou fazer o mesmo que o Lucas pois não conheço maneira melhor).

1/x + 1/y = 1/70

1/x + 1/z = 1/84

1/y + 1/z = 1/140

Pra ficar mais fácil visualizar escreva a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z, R = 1/70, Q = 1/84, P = 1/140. Daí temos

a+b = R

a+c = Q

b+c = P

Somando as 3 equações obtemos

2a+2b+2c = P+Q+R

Logo:

2a = -P+Q+R

2b = P-Q+R

2c = P+Q-R

Agora é só substituir os valores e encontrar a resposta (ajuda nas contas usar que mdc(70,84, 140) = 14)

a =  1/105 ⇒ x = 105

b = 1/210 ⇒ y = 210

c = 1/420 ⇒ z = 420

Obs.: Mais formalmente, a vazão é a taxa de variação do volume no tempo. Ou seja, é a derivada do volume.

Resposta:

c) 105, 210, 420