Question

Por favor preciso de ajuda!
Que a taxa de variação pontual de f no ponto $x_{o}$ é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto $x_{o}$. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é denominada instantânea.

Então resolva:

Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio de 2m e altura igual a 4m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3/min, encontre a taxa na qual o nível estará elevado quando estiver a 3m de profundidade.


Aproximadamente 0,9m/min;


Aproximadamente 2,1m/min;


Aproximadamente 0,18m/min;


Aproximadamente 0,28m/min;


Aproximadamente 0,45m/min;

Answer 1

Temos:
Altura do cone (H) -> 4 metros
Raio da base   (R) -> 2 metros

Uma vazão que é instantânea, representada por:
$\dfrac{d_{V_{(h)}}}{d_t}=2\ m^3/min$

Chamarei de:
(h) -> a profundidade do cone até a água
(r) -> o raio do cone relativa a profundidade

A parte do cone onde está contida a água, é o mesmo formato do tamanho original, ou seja, as medidas são proporcionais:
$\dfrac{H}{R}=\dfrac{h}{r}$

Isolando o (r), a partir da fórmula acima:
$\dfrac{4}{2}=\dfrac{h}{r}\\\\ 2=\dfrac{h}{r}\\\\ r=\dfrac{h}{2}$

A fórmula para calcular o volume é:
$V_{(h)}=\dfrac{\pi .h .r^2}{3}\\\\ Trocando\ o\ r\ pelo\ valor\ encontrado\ acima:\\\\ V_{(h)}=\dfrac{\pi .h .\left(\frac{h}{2}\right)^2}{3}\\\\ V_{(h)}=\dfrac{\pi .h .\frac{h^2}{2^2}}{3}\\\\ V_{(h)}=\dfrac{\pi .h .\frac{h^2}{4}}{3}\\\\ V_{(h)}=\dfrac{\pi .h^3}{12}$

Aplicando a derivada parcial, em relação ao tempo (t):
$\dfrac{d_{V_{(h)}}}{d_t}=\dfrac{3. \pi .h^2}{12} \times \dfrac{d_h}{d_t}\\\\ 2=\dfrac{3. \pi .h^2}{12} \times \dfrac{d_h}{d_t}\\\\ 2=\dfrac{ \pi .h^2}{4} \times \dfrac{d_h}{d_t}\\\\ \dfrac{2\times4}{\pi .h^2}=\dfrac{d_h}{d_t}\\\\ \dfrac{d_h}{d_t}=\dfrac{8}{\pi .3^2}\\\\ \boxed{\dfrac{d_h}{d_t}=\dfrac{8}{9\pi}\ (\ \approx 0,28\ m/min\ )}$

Espero ter ajudado.
Bons estudos!