Question

por favor. muitos pontos pela resposta dou​

Answer 1

Para responder ao problema utilizamos a Lei de Gauss na forma integral:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}.$

A divergência do campo elétrico é:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \dfrac{\partial}{\partial x}(3.00x + 4.00) + \dfrac{\partial}{\partial y}(6.00) + \dfrac{\partial}{\partial z}(7.00) = 3.00 \dfrac{\textrm{N}}{\textrm{C m}}.$

Assim, a densidade de carga é:

$\rho= \varepsilon_0\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 3.00\varepsilon_0.$

A carga total é dada pelo integral:

$Q = \displaystyle\iiint\limits_V \rho \textrm{ d}v = 3.00\varepsilon_0 \iiint\limits_V \textrm{d}v =3.00\varepsilon_0 V,$

sendo $V = (2.00\textrm{ m})^3 = 8.00\textrm{ m}^3$ o volume do cubo.

Assim, a carga total é:

$Q = 3.00 \dfrac{\textrm{N}}{\textrm{C m}} \times 8.85 \times 10^{-12}\textrm{ F/m} \times 8.00\textrm{ m}^3 = 2.12 \times 10^{-10} \textrm{ N F m/C} =\\\\= 2.12 \times 10^{-10} \textrm{ C}.$

Poderíamos também calcular o fluxo do campo elétrico através das paredes do cubo a partir da Lei de Gauss na forma integral:

$\displaystyle\iint\limits_{\partial V} \vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{s} = \dfrac{1}{\varepsilon_0}\iiint\limits_V \rho\textrm{ d}v = \dfrac{Q}{\varepsilon_0} \implies Q = \varepsilon_0\iint\limits_{\partial V} \vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{s}.$

Vamos agora calcular o fluxo do campo elétrico através de cada uma das 6 faces do cubo.

Na face contida no plano $x = 0$, temos o elemento de área orientado $\textrm{d}\vec{s} = \textrm{d}y\,\textrm{d}z\,\hat{i}$, donde:

$\vec{E}\Big\vert_{x=0}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{x=0} = (4.00\hat{i} + 6.00\hat{j} + 7.00\hat{k}) \cdot (\textrm{d}y\,\textrm{d}z\,\hat{i}) = 4.00\textrm{ d}y\,\textrm{d}z.$

Portanto:

$\displaystyle\iint\limits_{x=0}\vec{E}\Big\vert_{x=0}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{x=0} = 4.00\underbrace{\iint\textrm{ d}y\,\textrm{d}z}_{=2.00^2} = 16.00.$

Na face contida no plano $x = -2$, temos o elemento de área orientado $\textrm{d}\vec{s} = -\textrm{d}y\,\textrm{d}z\,\hat{i}$, donde:

$\vec{E}\Big\vert_{x=-2}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{x=-2} = ((-6.00 + 4.00)\hat{i} + 6.00\hat{j} + 7.00\hat{k}) \cdot (-\textrm{d}y\,\textrm{d}z\,\hat{i}) = 2.00\textrm{ d}y\,\textrm{d}z.$

Portanto:

$\displaystyle\iint\limits_{x=-2}\vec{E}\Big\vert_{x=-2}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{x=-2} = 2.00\underbrace{\iint\textrm{ d}y\,\textrm{d}z}_{=2.00^2} = 8.00.$

Na face contida no plano $y = 0$, temos o elemento de área orientado $\textrm{d}\vec{s} = -\textrm{d}x\,\textrm{d}z\,\hat{j}$, donde:

$\vec{E}\Big\vert_{y=0}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{y=0} = ((3.00x + 4.00)\hat{i} + 6.00\hat{j} + 7.00\hat{k}) \cdot (-\textrm{d}x\,\textrm{d}z\,\hat{j}) = -6.00\textrm{ d}x\,\textrm{d}z.$

Portanto:

$\displaystyle\iint\limits_{y=0}\vec{E}\Big\vert_{y=0}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{y=0} = -6.00\underbrace{\iint\textrm{ d}x\,\textrm{d}z}_{=2.00^2} = -24.00.$

Na face contida no plano $y = 2$, temos o elemento de área orientado $\textrm{d}\vec{s} = \textrm{d}x\,\textrm{d}z\,\hat{j}$, donde:

$\vec{E}\Big\vert_{y=2}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{y=2} = ((-3.00x + 4.00)\hat{i} + 6.00\hat{j} + 7.00\hat{k}) \cdot (\textrm{d}x\,\textrm{d}z\,\hat{j}) = 6.00\textrm{ d}x\,\textrm{d}z.$

Portanto:

$\displaystyle\iint\limits_{y=2}\vec{E}\Big\vert_{y=2}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{y=2} = 6.00\underbrace{\iint\textrm{ d}x\,\textrm{d}z}_{=2.00^2} = 24.00.$

Na face contida no plano $z = 0$, temos o elemento de área orientado $\textrm{d}\vec{s} = -\textrm{d}x\,\textrm{d}y\,\hat{k}$, donde:

$\vec{E}\Big\vert_{z=0}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{z=0} = ((3.00x + 4.00)\hat{i} + 6.00\hat{j} + 7.00\hat{k}) \cdot (-\textrm{d}x\,\textrm{d}y\,\hat{k}) = -6.00\textrm{ d}x\,\textrm{d}y.$

Portanto:

$\displaystyle\iint\limits_{z=0}\vec{E}\Big\vert_{z=0}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{z=0} = -6.00\underbrace{\iint\textrm{ d}x\,\textrm{d}y}_{=2.00^2} = -24.00.$

Na face contida no plano $z = 2$, temos o elemento de área orientado $\textrm{d}\vec{s} = \textrm{d}x\,\textrm{d}y\,\hat{k}$, donde:

$\vec{E}\Big\vert_{z=2}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{z=2} = ((-3.00x + 4.00)\hat{i} + 6.00\hat{j} + 7.00\hat{k}) \cdot (\textrm{d}x\,\textrm{d}y\,\hat{k}) = 6.00\textrm{ d}x\,\textrm{d}y.$

Portanto:

$\displaystyle\iint\limits_{z=2}\vec{E}\Big\vert_{z=2}\cdot\textrm{d}\vec{s}\Big\vert_{z=2} = 6.00\underbrace{\iint\textrm{ d}x\,\textrm{d}y}_{=2.00^2} = 24.00.$

O fluxo total através das paredes do cubo é dado pela soma dos 6 fluxos anteriores:

$\displaystyle\iint\limits_{\partial V} \vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{s} = 24.00.$

A carga total fica:

$Q = 8.85\times 10^{-12} \times 24.00 \textrm{ C} = 2.12 \times 10^{-10}\textrm{ C},$

tal como antes. É claro, contudo, que o primeiro método é bastante mais simples do que o segundo.