Question

por favor me ajudem urgenteeee

Answer 1

Resposta: o valor de $\footnotesize\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)$ é igual a 342.

Tem-se para o logaritmo do produtório, de i variando de 1 até 18 de 144 elevado a i, na base 12:

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=log_{12}\big(144^1\times144^2\times...\times144^{18}\big)$

Pela propriedade da potenciação, na multiplicação de potências de mesma base conservamos uma só base e somamos os expoentes:

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=log_{12}\big(144^{1\:+\:2\:+\:...\:+\:18}\big)$

Agora observe a dica dada pela própria questão:

$\sf 1+2+...+n=\dfrac{n\times(n+1)}{2}$

PORTANTO:

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=log_{12}\big(144^{\frac{18\times(18+1)}{2}}\big)$

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=log_{12}\big(144^{\frac{18\times19}{2}}\big)$

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=log_{12}\big(144^{9\times19}\big)$

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=log_{12}\big(144^{171}\big)$  ⇒ reescreva 144 numa potência de base 12.

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=log_{12}\big((12^2)^{171}\big)$

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=log_{12}\big(12^{342}\big)$ ⇒ aplique a propriedade ''logaritmo da potência''.

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=342\times log_{12}\big(12\big)$ ⇒ pela consequência da definição, todo logaritmo que tem sua base igual ao seu logaritmando é igual a 1.

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=342\times1$

$\sf log_{12}\Big(\prod_{i=1}^{18}144^i\Big)=342$

Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.