Question

POR FAVOR ME AJUDEM ! URGENTE, PRECISO PRA HOJE.

Uma pessoa realizou duas aplicações a juro simples de 6% a.a e 7% a.a, obtendo R$ 345,00 de rendimento ao final de um ano. Sabendo que se as quantias aplicadas fossem invertidas de investimento, o rendimento total seria de R$ 370,00, calcule o valor total aplicado por essa pessoa.

Answer 1

Sendo $J_{1}$ e $J_{2}$ os rendimentos das aplicações, cujos capitais investidos foram $C_{1}$ e $C_{2}$, respectivamente, temos

$J_{1}=C_{1}\cdot \dfrac{6\%}{\text{ano}}\cdot \left(1 \text{ ano}\right)\\ \\ J_{1}=0,06\cdot C_{1}\\ \\ \\ J_{2}=C_{2}\cdot \dfrac{7\%}{\text{ano}}\cdot \left(1 \text{ ano}\right)\\ \\ J_{2}=0,07\cdot C_{2}$


Como o rendimento total foi $\mathrm{R\ \;}345,00$, temos que

$J_{1}+J_{2}=345\\ \\ 0,06C_{1}+0,07C_{2}=345\;\;\;\;\text{(i)}$


Se as quantias fossem invertidas, teríamos um rendimento de $\mathrm{R\ \;}370,00$. Basta invertermos as taxas de aplicação e obtemos

$0,07C_{1}+0,06C_{2}=370\;\;\;\;\text{(ii)}$


Basta resolver o sistema formado pelas equações $\text{(i)}$ e $\text{(ii)}$:

$\left\{\begin{array}{l} 0,06C_{1}+0,07C_{2}=345\\ \\ 0,07C_{1}+0,06C_{2}=370 \end{array} \right.\;\;\Rightarrow\;\;\left(\times 100 \right )\\ \\ \\ \left\{\begin{array}{l} 6C_{1}+7C_{2}=34\,500\\ \\ 7C_{1}+6C_{2}=37\,000 \end{array} \right.$


Multiplicando a primeira equação por $7$ e a segunda equação por $-6$, temos

$\left\{\begin{array}{l} 42C_{1}+49C_{2}=34\,500\cdot 7\\ \\ -42C_{1}-36C_{2}=37\,000\cdot \left(-6 \right ) \end{array} \right.$


Somando os dois lados das equações membro a membro, obtemos

$42C_{1}-42C_{1}+49C_{2}-36C_{2}=34\,500\cdot 7+37\,000\cdot \left(-6 \right )\\ \\ 13C_{2}=241\,500-222\,000\\ \\ 13C_{2}=19\,500\\ \\ C_{2}=\dfrac{19\,500}{13}\\ \\ C_{2}=\mathrm{R\ \;}1\,500,00$


Substituindo o valor encontrado acima na primeira equação, temos

$6C_{1}+7\cdot 1\,500=34\,500\\ \\ 6C_{1}+10\,500=34\,500\\ \\ 6C_{1}=34\,500-10\,500\\ \\ 6C_{1}=24\,000\\ \\ C_{1}=\dfrac{24\,000}{6}\\ \\ C_{1}=\mathrm{R\ \;}4\,000,00$


O valor total aplicado é

$C_{1}+C_{2}\\ \\ =4\,000+1\,500\\ \\ =\mathrm{R\ \,}5\,500,00$