POR FAVOR ME AJUDEM
Qual o domínio e a imagem das funções a seguir?
A) f(x)= x²-1
B) f(x)= 2x²+3x+1
C) f(x)= x³+2
D) f(x)= -1/x
E) f(x)= 2^x
Soluções para a tarefa
Resposta:
A) Domínio: R (reais). Imagem: R - ]-1, -∞[ (reais maiores ou iguais a 1)
B) Domínio: R (reais). Imagem: R - ]-1/8, -∞[ (reais maiores ou iguais a -1/8)
C) Domínio: R (reais). Imagem: R (reais).
D) Domínio: R - {0} (reais exceto 0). Imagem: R - {0} (reais exceto 0).
E) Domínio: R (reais). Imagem: R - [0, -∞[ (reais maiores que 0)
Explicação passo-a-passo:
O domínio é tudo que você pode colocar na função (ou seja, todos os x possíveis), e a imagem é tudo que pode sair como resultado da aplicação dessa função a um x (ou seja, todos os f(x) possíveis). Usando essa ideia, vamos resolver as questões:
Para exemplificar, eu acho melhor começar com a letra D. Depois voltamos à ordem normal.
D (quinta foto) ) Observe que se colocarmos x = 0, temos uma divisão por zero, o que não pode acontecer. Então 0 não faz parte do domínio. Por outro lado, eu posso colocar qualquer outro número real sem problemas. Então o domínio é R - {0} (reais exceto 0).
A imagem é um pouco mais complicada. Observe que, como ela se trata do f(x), ela tem a ver com as coordenadas y. E, para um elemento fazer parte da imagem, ele deve ter um correspondente no domínio. Isso significa que podemos traçar reta horizontais de equação y = k (ou seja, todos os pontos que estão a uma "altura" k em relação ao eixo x), onde k é o elemento que estamos analisando. Se essa reta cortar o gráfico da função, significa que existe um correspondente de k no domínio, e portanto k faz parte da imagem.
(Uma análise parecida pode ser feita para encontrar o domínio, com linhas verticais, mas eu acho mais fácil procurar por contradições, como divisões por zero.)
Assim, observe que a linha horizontal y = 0 (equivalente ao eixo x) não passa pelo gráfico, enquanto todas as outras linhas irão passar, em algum momento. Então, a imagem é R - {0} (reais exceto 0).
A (primeira foto) ) Podemos colocar qualquer coisa naquele x sem ter problemas, então o domínio é simplesmente R.
Por outro lado, olhando para o gráfico, vemos que nenhuma reta horizontal que está abaixo de y = -1 irá cortá-lo. Assim, nenhum elemento menor que -1 faz parte da imagem. Portanto, a imagem é R - ]-1, -∞[ (reais maiores ou iguais que -1).
B (quarta foto) ) Aplicando o mesmo raciocínio da A, vemos que qualquer x funciona, então o domínio é R.
A imagem pode ser um pouco difícil, mas basta saber como encontrar a coordenada y do ponto mínimo. Tem uma fórmula: . Sabendo dessa fórmula, sabemos que a coordenada y vai ser... -1/8 (ou -0,125). Se o ponto mais baixo tem essa coordenada, nenhuma linha abaixo da reta y = -1/8 cortará o gráfico. Assim, nenhum número menor que -1/8 fará parte da imagem. Portanto, a imagem é R - ]-1/8, -∞[ (reais maiores ou iguais que -1/8).
C (segunda foto) ) Esse é o mais de boa. Todos os x funcionam, e todas as retas horizontais cortam o gráfico. Então, ambos o domínio e a imagem serão R.
E (terceira foto) ) De novo, nenhum x vai dar errado. Domínio é R.
Mas, nem y = 0 nem nenhuma reta que está abaixo de y = 0 vai cortar o gráfico. Então nenhum número menor ou igual a zero está na imagem. Assim, a imagem é R - [0, -∞[ (reais maiores que 0).