Question

(POR FAVOR ME AJUDEM, DOU O MÁXIMO DE PONTOS QUE POSSO PELA RESPOSTA)
Uma pessoa se encontra na margem superior de um rio reto e quer chegar a um ponto localizado na outra margem, 16 metros a direita. Sabendo que a distância das margens é de 8m e que não há obstáculos por terra e nem pela água e supondo que a velocidade por terra é de5m/s e sua velocidade nadando é de 4m/s, determine qual a distância x que esta pessoa deve percorrer por terra e qual a distância y que ela deve percorrer pela água para chegar ao ponto desejado com o menor tempo possível.

Answer 1

Vamos lá!

Primeiramente irei definir algumas variáveis que irei utilizar nos cálculos

Da= Distância percorrida na água
Dt = Distância percorrida na terra.
Dat= Distância do ponto de chegada na terra ao ponto 0 da terra, que é a posição de encontro à outra margem caso ele tenha chegado perpendicularmente.

Considerando que:
Distância entre o ponto zero da terra e a de chegada= 16m
Distância entre as margens paralelas: 8m

Então, a distância em linha reta do ponto de saída ao de chegada  é dado por:

$h^2=16^2+8^2$      (Teorema de Pitágoras)
$h^2=256+64$
$h= \sqrt{320}$
$h= \sqrt{5*64}$
$h= 8\sqrt{5}$

Irei agora colocar as distâncias representadas pelas variáveis em função do tempo para futuros cálculos relacionados à esse. (Utilizando as velocidades dadas).

$D_{a} =4 T_{a}$
$D_{t} =5 T_{t}$
$D_{at} = \sqrt{16*(T_{a}^2-4) }$

Esse ultimo é resultado da equação:

$D_{at}^2+8^2= D_{a}^2$
$D_{at}= \sqrt{ D_{a}^2 -64}$
$D_{at}= \sqrt{ (4T_{a})^2 -64}$
$D_{at}= \sqrt{ 16T_{a}^2 -64}$
$D_{at}= \sqrt{ 16(T_{a}^2 -4)}$

Isolando $T_{a}$, temos:

$D_{at}^2= 16(T_{a}^2 -4)$
$T_{a}^2 -4= \frac{ D_{at}^2}{16}$
$T_{a}^2= \frac{ D_{at}^2}{16}+4$
$T_{a}= \sqrt{ \frac{ D_{at}^2}{16}+4}$

Para isolarmos $T_{t}$, irei relacionar as distâncias terrestes:

$D_{t} =16 - D_{at}$
$5T_{t} =16 - D_{at}$
$T_{t} = \frac{16 - D_{at}}{5}$

O tempo total em função de $D_{at}$ é:

$T_{a} + T_{t} = \sqrt{\frac{D_{at}^2}{16}+4}+ \frac{16- D_{at} }{5}$

Substituindo $T_{a}+ T_{t}$ por y, e $D_{at}$ por x:

$y = \sqrt{\frac{x^2}{16}+4}+ \frac{16- x }{5}$

Para encontrar o menor tempo total possível, isto é, o menor valor de y, é necessário encontrar o ponto crítico da função. Para isso, a derivada da função nesse ponto deve ser igual à 0.

A derivada dessa função será:

$y'= \frac{1}{2 \sqrt{u} }* \frac{x}{8}- \frac{1}{5}$
$y'= \frac{x}{16 \sqrt{ \frac{x^2+64}{16} } } - \frac{1}{5}$
$y'= \frac{x}{4 \sqrt{x^2+64} } } - \frac{1}{5}$
$\frac{x}{4 \sqrt{x^2+64} } } - \frac{1}{5}=0$        (y'=0)
$\frac{x}{4 \sqrt{x^2+64} } }=\frac{1}{5}$
$4 \sqrt{x^2+64}=5x$
$(4 \sqrt{x^2+64})^2=(5x)^2$
$16(x^2+64)=25x^2$
$16x^2+1024=25x^2$
$9x^2=1024$
$x^2= \frac{1024}{9}$
$x=\pm\sqrt{ \frac{1024}{9}$
$x=\pm\frac{32}{3}$

Verificando as raízes:

$\frac{x}{4 \sqrt{x^2+64} } }=\frac{1}{5}$  (Para $x_{1} = \frac{32}{3}$)
$\frac{\frac{32}{3}}{4 \sqrt{(\frac{32}{3})^2+64} } }=\frac{1}{5}$
$\frac{\frac{8}{3}}{\sqrt{\frac{1024}{9}+64} } }=\frac{1}{5}$
$3 \sqrt{ \frac{1024+576}{9} }=40$
$3 \sqrt{ \frac{1600}{9} }=40$
$3* \frac{40}{3} =40$
$40 =40$

$x_{1}$ convém, testaremos agora $x_{2}$:

$\frac{x}{4 \sqrt{x^2+64} } }=\frac{1}{5}$  (Para $x_{1} = -\frac{32}{3}$)
$\frac{-\frac{32}{3}}{4 \sqrt{(-\frac{32}{3})^2+64} } }=\frac{1}{5}$
$\frac{\frac{-8}{3}}{\sqrt{\frac{1024}{9}+64} } }=\frac{1}{5}$
$3 \sqrt{ \frac{1024+576}{9} }=-40$
$40 \neq -40$

$x_{2}$ não convém, portanto:

$D_{at}= \frac{32}{3}$      Para $T_{a} + T_{t}$ (Mínimo)

Agora é possivel calcular as distâncias, substituindo nas equações do começo da resolução.

$D_{t} =16 - D_{at}$
$D_{t} =16 - \frac{32}{3}$
$D_{t} =\frac{48-32}{3}$
$D_{t} =\frac{16}{3}$
$D_{t}\approx5.33m$

$D_{a}^2 = D_{at}^2 +8^2$
$D_{a}^2 = (\frac{32}{3})^2 + 8^2$
$D_{a}^2 = \frac{1024}{9} + 64$
$D_{a}^2 = \frac{1024+576}{9}$
$D_{a}^2 = \frac{1600}{9}$
$D_{a} = \frac{40}{3}$
$D_{a} \approx13.33m$

Portanto, a distância x (por terra) e y (pela água) serão, respectivamente, 5,33m e 13,33m.

Informações adcionais:

Tempo de cada período:

$T_{a} = \frac{ D_{a} }{4}$
$T_{a} = \frac{ \frac{40}{3} }{4}$
$T_{a} = \frac{10}{3}$
$T_{a} \approx 3.33s$

$T_{t} = \frac{ D_{t} }{5}$
$T_{t} = \frac{ \frac{16}{3}}{5}$
$T_{t}=\frac{16}{15}$
$T_{t}\approx 1.066s$

$T_{total} = T_{a} + T_{t}$
$T_{total} = 3.333s + 1.066s$
$T_{total} = 4.4s$

Anexos: Representação do trajeto
              Prova do tempo mínimo.

Espero ter ajudado!