Por favor me ajudem
Dê os valores de “a” para que o sistema seja
compatível e determinado.
-y+az+-2
x+y+z=a
ax-2y+4z=-5
Soluções para a tarefa
Resposta:
a ≠ -4 e a ≠ 1
Explicação passo-a-passo:
1º: extrair do sistema a matriz dos coeficientes e depois calcular o determinante por Sarrus:
[0 -1 a]
[1 1 1] det = -2a -a +4 -a² = -a² -3a +4
[a -2 4]
2º: Para ser Possível e Determinado(SPD), det ≠ 0
Portanto, -a² -3a +4 ≠ 0
Soma = -3 a1 ≠ -4
Produto = -4 a2 ≠ 1
a ≠ -4 e a ≠ 1
Para qualquer valor real de a que seja diferente de 4 e diferente de -1, o sistema linear será compatível e determinado.
Para resolvermos esse exercício, temos que aprender o que é um sistema linear. Um sistema linear é um conjunto de equações lineares, onde os valores ao lados das variáveis são denominados coeficientes, e o valor sem variável é denominado termo independente.
Os valores das variáveis que resolvem um sistema são chamados de raízes do sistema. Um sistema é chamado de compatível quando possui raízes, e incompatível quando não possui valores de variáveis que solucionam todas as equações do sistema ao mesmo tempo.
Caso o sistema seja compatível, ele pode ser determinado ou indeterminado. Um sistema é determinado quando possui apenas uma solução, e indeterminado quando admite infinitas soluções.
Para resolvermos um sistema, podemos utilizar a Regra de Cramer. Para que um sistema seja compatível e determinado, o determinante dos coeficientes do sistema deve ser diferente de zero. Assim, devemos identificar para quais valores de a o determinante é 0, e, assim, saberemos quais os valores que a não pode tomar.
Primeiro, devemos criar a matriz dos coeficientes do sistema:
0 -1 a
1 1 1
a -2 4
Após, devemos copiar as duas primeiras colunas ao lado da matriz e descobrir seu determinante:
0 -1 a 0 -1
1 1 1 1 1
a -2 4 a -2
Calculando o determinante dos coeficientes, temos que ele é:
(0 x 1 x 4) + (-1 x 1 x a) + (a x 1 x -2) - (a x 1 x a) - (-2 x 1 x 0) - (4 x 1 x -1) = 0 - a - 2a - a² - 0 + 4 = - a² - 3a + 4.
Assim, obtemos uma equação do segundo grau. Resolvendo essa equação, poderemos descobrir para quais valores de a o determinante dos coeficientes é zero.
Aplicando os coeficientes na fórmula de Bhaskara, com a = -1, b = -3, c = 4, temos que as raízes dessa equação são a = -4 e a = 1.
Com isso, descobrimos que para qualquer valor real de a que seja diferente de 4 e diferente de -1, o sistema linear será compatível e determinado.
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