Question

POR FAVOR, ME AJUDEM. – Dada a função f (x) = ln x + x, determine a equação da reta tangente ao gráfico dessa curva no ponto x0 = 1

Answer 1

A reta tangente ao gráfico desta curva , no ponto com $x_{0}=1$   é

y = 2x - 1

( ver gráfico em anexo )

Função  →    f(x) = ln (x) + x

1 º Calcular o ponto de tangência ( T )

Este ponto pertence simultaneamente à reta e à curva de f(x).

Já sabemos que o valor de  x = 1

f (1 ) = ln ( 1 ) + 1 = 0 + 1 = 1

T ( 1 ; 1 )

2 º Calculo do declive da reta tangente

Fazendo a derivada de f (x)

$(f(x))' = (ln(x))' +x'$

$(f(x))' = \dfrac{1}{x}+x$

$(f(1))' = \dfrac{1}{1}+1=2$

Está encontrado o declive da reta   m = 2    

Falta calcular o valor do coeficiente linear

3 º Calcular a reta tangente em T

Vou usar outra fórmula que também dá o declive (m) de uma reta

$m=\dfrac{y_{2}-y_{1} }{x_{2} -x_{1} }$

• ( x1 ; y1 ) são coordenadas de um ponto.
  
• (x2 ; y2 )  coordenadas de outro ponto

Como já temos um ponto e o declive, assim fica a fórmula

$2=\dfrac{y-1 }{x-1} }$

Aqui  ( x ; y ) serão as coordenadas que nos levam a todos os pontos da

reta.

$\dfrac{2}{1} =\dfrac{y-1 }{x-1} }$

Produto cruzado

2 * ( x - 1 ) = y - 1

Trocar membros numa equação não mudam os sinais

y - 1 = 2 * ( x - 1 )

y = 2x - 2 + 1

y = 2x - 1

------------------------

Observação 1 → O que é ln ?   Como se pode escrever e ler ?

É um tipo de logaritmo que tem base " e " .

" e " =  2,71828  aproximadamente

Pode-se escrever de duas maneiras simbólicas

$ln(x)=log_{e} (x)$

Lê-se → Logaritmo neperiano de x igual a logaritmo de x na base "e"

Chama-se logaritmo Neperiano e foi descoberto por John Naper .

Observação 2 → Fórmula de derivada de ln (x)

$(ln (x ))' =\dfrac{1}{x}$

Observação 3 → Logaritmo de 1, em qualquer base

O logaritmo de 1 em qualquer base é zero.

Exemplos

$log_{2} (1)=0$                    

$log_{10} (1)=0$

$log_{e} (1)=ln(1)=0$

Observação 4 → Equação do 1º grau

é do tipo y = mx + n   onde

m = coeficiente angular ou declive

n = coeficiente linear

Também se pode escrever y  =  ax + b

a = coeficiente angular ( declive )

b = coeficiente linear

Bons estudos.

--------

( ' ) sinal de primeira derivada          ( * ) multiplicação

( e ) Número de neper ; vale 2,71828  aproximadamente

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.