Question

POR FAVOR ME AJUDEM - CÁLCULO 1
Seja f: ]0,∞[ ⇒R uma função com f(1) = -1 e f(2) = 2.
Sabe-se que existe K ∈ R tal que:

f (a+b) - f (a) = $\frac{kb}{a^{2} + ab'}$

para todos a > 0 e b > -a.
Então f ' (3) é igual a?


Obs: Já calculei que K = 18 e f (3) = 11.
e agora?

Answer 1

Por definição, o valor de $f'(3)$ é dado pelo limite:

$\displaystyle f'(3) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}.$

Fazemos agora $a=3>0$ e $b = h>-3$ na propriedade dada e aplicamos:

$f(3+h) - f(3) = \dfrac{kh}{3^2 + 3 h} \implies \dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \dfrac{1}{3}\dfrac{k}{3 + h}$

Substituindo no limite, vem:

$\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h} = \dfrac{1}{3}\lim_{h\to 0}\dfrac{k}{3+h} = \dfrac{k}{3^2} = \dfrac{k}{9}.$

Resta agora determinar o valor de $k$. Para tal, subsituímos os valores conhecidos $f(1) = -1$ e $f(2) = 2$, fazendo $a = 1 > 0$ e $b = 1 >-1$:

$\underbrace{f(1+1)}_{=f(2)=2} - \underbrace{f(1)}_{=-1} = \underbrace{\dfrac{k\times1}{1^2+1\times 1}}_{=k/2} \iff 3 = \dfrac{k}{2} \iff k = 6.$

Portanto, o valor da derivada é:

$\boxed{f'(3) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}}.$