Question

Por favor me ajudem a resolver esta questao!

Answer 1

1) Para calcular a equação da reta tangente a uma curva em um determinado ponto, necessitamos de duas coisas: as coordenadas do ponto e do coeficiente angular da reta;

2) Para calcular as coordenadas do ponto substituímos x por 4 e obtemos y:

$y= \sqrt{x^3} -x^2+\frac{16}{x^2} \\ \\ y= \sqrt{4^3} -4^2+\frac{16}{4^2} \\ \\ y= \sqrt{64}-16+1 \\ \\ y= 8-16+1 \\ \\ y=7$

Logo o ponto tem coordenadas (4,7)

3) Para determinar o coeficiente angular da curva no ponto, temos que calcular a derivada da função. Neste caso usaremos as regras da derivação da potência:

$y= \sqrt{x^3}-x^2+\frac{16}{x^2} \\ \\ y=x^{\frac{3}{2}}-x^2+16.x^{-2} \\ \\ y'=\frac{3\sqrt x}{2}-2x+16.(-2)x^{-3} \\ \\ y'=\frac{3\sqrt x}{2}-2x-\frac{32}{x^3}$

Agora substitui x por 4 para determinar o coeficiente angular da reta:

$m=\frac{3\sqrt 4}{2}-2.4-\frac{32}{4^3} \\ \\ m=3-8-\frac{1}{2} \\ \\ m=-\frac{11}{2}$

4)  Agora vamos escrever a equação procurada:

Equação Fundamental:

$y-7=-\frac{11}{2}(x-4)$

Passando para Equação Geral:

$y-7=-\frac{11}{2}(x-4) \\ \\ 2y - 14 =-11(x-4) \\ \\ 2y-14=-11x+44 \\ \\ \boxed{-11x-2y+58=0 }$