Question

por favor, me ajudem​

Answer 1

Seja $z = \dfrac{3+a\textrm{i}}{1+\textrm{i}}.$

Começamos por dividir e multiplicar$z$ por $1-\textrm{i}$:

$z = \dfrac{3+a\textrm{i}}{1+\textrm{i}} \times \dfrac{1-\textrm{i}}{1-\textrm{i}}.$

Aplicamos agora a propriedade distributiva no numerador e o caso notável da diferença de quadrados no denominador:

$z = \dfrac{3-3\textrm{i}+a\textrm{i}-a\textrm{i}^2}{1-\textrm{i}^2} = \dfrac{3+(a-3)\textrm{i} -a \times (-1)}{1-(-1)} = \dfrac{(3+a)+(a-3)\textrm{i}}{2}.$

Teremos agora que $z\in\mathbb{R} \iff \textrm{Im }z = 0$, donde:

$\textrm{Im }z = \dfrac{a-3}{2} = 0 \iff a-3 = 0 \iff a=3.$

Assim o valor pretendido é:

$\boxed{a=3}.$

De facto, se $a=1$, temos:

$z = \dfrac{3+3\textrm{i}}{1+\textrm{i}} = \dfrac{3(1+\textrm{i})}{1+\textrm{i}} = 3 \in \mathbb{R},$

tal como pretendido.