Question

POR FAVOR ESTOU POSTANDO A VÁRIOS DIAS TENTATI MUITAS VEZES FAZER MAS NÃO ESTOU CONSEGUINDO:
Considere a reta (s) que passa pelo ponto A = (10,7,-2) e é simultaneamente ortogonal às retas:


| x = 1 - t ........................................ | x = -13 + 2q

r1: | y = 2 + 3t ..............e..............r2: | y = 1 + q

| z = 5 + 2t .................................... | z = 4 + 4q


Para que valores de α(alpha) e β(beta), a reta (u): (x+3)/α = (y-13)/β = z/14 é paralela à reta (s) ?

Answer 1

Resposta:

$\alpha = -20$

$\beta = -16$

Explicação passo-a-passo:

Para duas retas serem ortogonais entre si, o produto interno dos seus vetores diretores deve ser igual a 0.

O primeiro passo é obter o vetor diretor da reta s que, por ser paralela à reta t, compartilha do mesmo vetor diretor.

A equação simétrica precisa estar na forma:

$\frac{x-x₀}{a} = \frac{y-y₀}{b} = \frac{z-z₀}{c}$

Apenas frisar o cuidado aqui, porque operações que não estejam nesse formato precisam ser alteradas, e isso pode afetar o denominador e, consequentemente, os valores que vamos usar para o vetor diretor!

A equação alterada fica assim:

$\frac{x-(-3)}{\alpha} = \frac{y-13}{\beta} = \frac{z-0}{14}$

Podemos concluir que o vetor diretor para u e s, que vou chamar de w, é:

$w = (\alpha, \beta, 14)$

E os vetores diretores para r₁ e r₂, que vou chamar de v₁ e v₂, respectivamente, são:

$v1 = (-1, 3, 2)$

$v2 = (2, 1, 4)$

Agora, precisamos igualar os produtos internos a 0 (porque as retas precisam ser ortogonais):

$v$₁ · $w = 0$ ⇒ $(-1, 3, 2)$·$(\alpha, \beta, 14) = 0$ ⇒ $-\alpha + 3\beta + 28 = 0$

$v$₂ · $w = 0$ ⇒ $(2, 1, 4)$·$(\alpha, \beta, 14) = 0$ ⇒ $2\alpha + \beta + 56 = 0$

Isso é um sistema que podemos resolver para obter os valores de $\alpha$ e $\beta$:

$\left \{ {{-\alpha + 3\beta + 28=0} \atop {2\alpha + \beta + 56 = 0}} \right.$

Podemos multiplicar toda a primeira linha por 2 e preservar o sistema (operações elementares):

$\left \{ {{-2\alpha + 6\beta + 56=0} \atop {2\alpha + \beta + 56 = 0}} \right.$

Somando a primeira linha com a segunda, podemos isolar $\beta$ (note que $\alpha$ é anulado, porque somamos $-2\alpha + 2\alpha$):

$7\beta + 112 = 0$

$\beta = -\frac{112}{7}$

$\beta = -16$

Agora basta substituir $\beta$ em qualquer uma das duas equações originais do sistema (usando a primeira aqui):

$2\alpha - 16 + 56 = 0$

$\alpha = \frac{16-56}{2}$

$\alpha = -20$