Question

Por favor, como faço para achar esses limites:

a) lim, quando x-->infinito, lim (1 + 3/2x )^x
b) lim, quando x-->0+, lim (1 + 3x)^1/x
c) lim, quando x-->0+, lim 1 000(1 +0, 09x)^1/x

Obrigada quem responder e que Deus abençoe.

Answer 1

Olá Bianca!

Lembre-se do limite fundamental de euler...

$\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{x})^x = e$

Sendo assim, façamos uma simples substituição.

$\frac{1}{n} = \frac{3}{2x}$

Aplicando regra de três:

$n = \frac{2x}{3}$

Nos iremos trocar "n por x" em nosso limite.

Veja que, quando x vai para infinito. "n também irá.

$n = \frac{2x}{3} = \frac{2 \infty}{3} = \infty$

Vamos isolar "x nessa igualdade"

$\\ n = \frac{2x}{3} \\ \\ x = \frac{3n}{2}$
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Indo para nosso novo limite:

$\\ \lim_{x \to \infty} (1+ \frac{3}{2x} )^x = \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^ \frac{3n}{2} \\ \\ \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^ \frac{3n}{2} = [ \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n} )^n]^ \frac{3}{2} = e^ \frac{3}{2}$


$\\ = \sqrt{e^3} \\ \\ = \sqrt{e^2e} = e \sqrt{e}$
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B)

Façamos uma outra mudança.

Lembre-se que:


$\lim_{x \to 0} (1+x)^ \frac{1}{x} = e$

Fazendo "3x = n"

$\\ 3x = n \\ \\ x = \frac{n}{3}$

Como x vai para zero, "n também irá...

$\\ x = \frac{n}{3} \\ \\ 0 = \frac{n}{3} \\ \\ n = 0$

Vamos substituir em nosso limite:

$\\ \lim_{x \to 0} (1+3x)^ \frac{1}{x} = \lim_{n \to 0} (1+n)^ \frac{1}{\frac{n}{3} } \\ \\ \lim_{n \to 0} (1+n)^ \frac{1}{\frac{n}{3} } =\lim_{n \to 0} (1+n)^ \frac{3}{n}$

Que é o mesmo:
 
$\\ \lim_{n \to 0} (1+n)^ \frac{3}{n} = [\lim_{n \to 0} (1+n)^ \frac{1}{n} ]^ 3 = e^3$
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C)

1000 pode saltar para fora...

$1000* \lim_{x \to 0} (1+0,09x)^ \frac{1}{x}$

Fazendo "0,09x = n"

$\\ 0,09x = n \\ \\ \frac{9x}{100} = n \\ \\ x = \frac{100n}{9}$

Substituindo-se...

$\\ 1000\lim_{x \to 0} (1+0,09)^ \frac{1}{x} =1000\lim_{x \to 0} (1+n)^ \frac{1}{ \frac{100n}{9} } \\ \\ 1000\lim_{x \to 0} (1+n)^ \frac{1}{ \frac{100n}{9} } = 1000\lim_{x \to 0} (1+n)^ \frac{9}{ 100n}$

Reescrevendo de forma que apareça o limite fundamental...

$\\ 1000\lim_{x \to 0} (1+n)^ \frac{9}{ 100n} = 1000[\lim_{x \to 0} (1+n)^ \frac{1}{n} ]^\frac{9}{ 100} = 1000*e^ \frac{9}{100} \\ \\ = 1000*e^ \frac{9}{100} \\ \\ = 10^3e^\frac{9}{100} \\ \\ = 10^3 \sqrt[100]{e^9}$