Question

Por favor, alguém me ajuda nessa questão?
O esboço de um projeto paisagístico foi representado em um eixo cartesiano em que cada unidade representa 1 metro, com todo imóvel localizado no primeiro quadrante. Os canteiros são triângulos retângulos indicados pelas letras maiúsculas. O canteiro A tem vértice sobre o ângulo reto localizado entre a origem do eixo e a hipotenusa. Sua área mede 9m² e a delimitação dos lados utilizou como suporte as retas X-3 = 0 e y-2=0 e uma reta r que, para manter a simetria, é paralela à reta s: 2x + y - 60 = 0. A equação geral da reta r, para que, no projeto, o canteiro A tenha área de 9m² é....

Gab: 2x + y - 14 = 0 

Answer 1

Marimari,

para elaborarmos a equação de uma reta, deveremos ter:

Um ponto definido $P_{o}=(x_{o},y_{o})$ (contido na reta), um ponto genérico $P=(x,y)$ e o coeficiente angular da reta (m). Estes dados são o bastante para elaborarmos a equação através da equação fundamental da reta:

$m= \frac{y-y_{o}}{x-x_{o}}$
Na reta r, temos os pontos B=(3,y') e C=(x',2), todos eles dependentes de uma incógnita, portanto, nenhum deles nos serve ainda como ponto determinado da reta. Com o objetivo de encontrarmos x' e y', seguiremos os seguintes passos:

1) A área do canteiro é limitado pela reta r e também pelas retas:

$y-2=0\\y=2$ e

$x-3=0\\x=3$

ambas representadas no esboço no gráfico EM ANEXO.

2) É dito pelo enunciado que esta área do canteiro a (no gráfico, neste caso, representei pelo triângulo ABC) é igual a 9m². Nos utilizando desta informação e aplicando conceitos de área neste canteiro, teremos:

- os pontos A(3,2), B(3,y') e C(x',2)

- Área do canteiro:
$\frac{AC.AB}{2}=9\\ \frac{(x'-3)(y'-2)}{2}=9\\ (x'-3)(y'-2)=18\\x'y'-2x'-3y'=12$ (1)

3) Notemos que a reta r é paralela à reta s. Assim, tiramos como conclusão que:

se r // s, $m_{r}=m_{s}$. ou seja: quaisquer retas paralelas no plano cartesiano possuirão o mesmo coeficiente angular.

A reta s está em sua forma geral. Colocando ela em sua forma reduzida descobriremos o seu coeficiente angular ($m_{s}$). Assim:

$s:2x-y-60=0\\y=-2x+60$

portanto $m_{r}=m_{s}=-2$

4) Agora, peguemos os pontos B e C e o coeficiente angular da reta r($m_{r}$) e apliquemos na equação fundamental da reta:

$-2= \frac{2-y'}{x'-3}\\ y'=2x'-4$ (2)

Ora, conseguimos obter duas relações entre as coordenadas x' e y'. Pondo-las em um sistema, conseguiremos encontrar seus respectivos valores. Então:

$x'y'-2x'-3y'=12$ (1)

$y'=2x'-4$ (2)

pondo (2) em (1):

$x'(2x'-4)-2x'-3(2x'-4)=12\\ 2x'^2-4x'-2x'-6x'+12=12\\ 2x'^2-12=0(\div2)\\ x'^2-6x'=0\\ x'(x'-6)=0$x'=0 ou x'=6  

eliminamos a possibilidade de x'=0 pois o canteiro todo está inteiramente contido no primeiro quadrante. Logo x'=6, manuseando x' tanto em (1) quanto em (2), obtemos y'=8.

Contudo, temos as coordenadas B (3,8) e C(6,2) definidas. Basta-nos escolher um ponto destes dois para ser o nosso ponto definido e jogarmos na equação fundamental da reta juntamente com o coeficiente angular obtido e um ponto genérico qualquer.

Escolhendo B:

$-2= \frac{y-8}{x-3}\\ -2x+6=y-8\\ 2x +y-14=0$

Espero ter ajudado,

See Ya!