Question

Por favor ajudem estou desesperada 1Sendo log2=0,3 log3=0,4 e log5=0,7 calcule: a)log 9 2 b) log 5 3 c)log6 152 Efetue o produto log 3 2.log2 5.log5 3
3 Solucione as equações 
a)log 5 x+log25 x =3 b) log2 x +log4 x +log2 x =7 
c) log4 x +log8 x -log 2 x =-1

Answer 1

LOGARITMOS

Propriedades Operatórias

Aplicando as propriedades operatórias, p1, p2 e p3 e a mudança de base,

$p1(produto)(Log _{a} b*c=Log _{a}b+Log _{a}c)$

$p2(quociente)(Log _{a} \frac{b}{c}=Log _{a}b-Log _{a}c)$

$p3(potencia)(Log _{b}c ^{a}=a*Log _{b}c)$ e a p4 (mudança de base)

$Log _{c}b= \frac{Logb}{Logc}$, vem:


1. Dados Log2=0,3; Log3=0,4 e Log5=0,7, calcule:

a) $Log _{9}2= \frac{Log2}{Log9}= \frac{Log2}{Log3 ^{2} }= \frac{Log2}{2*Log3}$

Substituindo os valores de log, vem:

$Log _{9}2= \frac{0,3}{2*0,4}= \frac{0,3}{0,8}=0,375$


b) $Log _{5}3= \frac{Log3}{Log5}= \frac{0,4}{0,7}=0,57$


c) $Log _{6}15= \frac{Log15}{Log6}= \frac{Log3*Log5}{Log2*Log3}= \frac{Log3+Log5}{Log2+Log3}$

 $Log _{6}15= \frac{0,4+0,7}{0,3+0,4} = \frac{1,1}{0,7}=1,57$

2.$Log _{3} 2*Log _{2}5*Log _{5}3$

$= (\frac{Log2}{Log3})+(\frac{Log5}{Log2})+( \frac{Log3}{Log5})$

$=( \frac{0,3}{0,4})+( \frac{0,7}{0,3})+( \frac{0,4}{0,7})=0,75+2,3+0,57=3,62$


3. Solucione as equações:

a) $Log _{5}x+Log _{25}x=3$

A incógnita encontra-se no logaritmando, então devemos ter x > 0, esta é a condição para que log exista:

Como os logaritmos estão em bases diferentes, bases 5 e 25, podemos aplicar a propriedade 4 dos logaritmos (mudança de base):

$Log _{5}x+ \frac{Log _{5}x }{Log _{5}25 }=3$

Aplicando a definição de log, $Log _{5}25=2$, temos:

$Log _{5}x+ \frac{Log _{5}x }{2}=3$

$2*Log _{5}x+Log _{5}x=3*2$

$3Log _{5}x=6$

$Log _{5}x= \frac{6}{3}$

$Log _{5}x=2$

Pela definição de log, vem:

$x=5 ^{2}$

$x=25$

Vemos que x satisfaz a condição de existência, logo:


S={25}



b) $Log _{2}x+Log _{4}x+Log _{2}x=7$

Aplicando a P.M.B, vem:

$2Log _{2}x+ \frac{Log _{2}x }{Log _{2}4 }=7$

$2Log _{2}x+ \frac{Log _{2}x }{2}=7$

$2*2Log _{2}x+Log _{2}x=7*2$

$4Log _{2}x+Log _{2}x=14$

$5Log _{2}x=14$

$Log _{2}x= \frac{14}{5}$

Pela definição, vem:

$x=2 ^{ \frac{14}{5} }= \sqrt[5]{2 ^{14} }= \sqrt[5]{16384}$

Logo x atende a condição de existência.


S={$\sqrt[5]{16384}$}



c) $Log _{4}x+Log _{8}x-Log _{2}x=-1$

$\frac{Log _{2}x }{Log _{2}4 }+ \frac{Log _{2}x }{Log _{2}8 }-Log _{2}x=-1$

$\frac{Log _{2}x }{2}+ \frac{Log _{2}x }{3}-Log _{2}x=-1$

$\frac{3*Log _{2}x+2*Log _{2}x-6*Log _{2}x }{6}= -\frac{1}{6}$

$-Log _{2}x=-1$

$Log _{2}x=1$

$x=2 ^{1}$

$x=2$

S={2}