Matemática, perguntado por ghostosa05, 4 meses atrás

Pontue a diferença entre os gráficos das funções abaixo:

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por thomazkostinskidev
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Resposta:

  • A primeira é uma função de segundo grau (f(x)=x^2-5x+4) e a segunda é uma função modular de segundo grau (f(x)=|x^2-5x+4|);
  • Para o intervalo 1<x<4, a primeira função assume valores negativos enquanto a segunda assume valores positivos no mesmo intervalo;
  • A imagem da primeira função é o intervalo [-\frac{9}{4};+ \infty[ enquanto a imagem da segunda função é [0;+\infty[

Explicação passo a passo:

Note que o primeiro gráfico é uma equação de segundo grau. Analisando as raízes, que são x' = 1 e x''=4, temos, por soma e produto:

x'+x''=-\frac{b}{a}\\\\1+4=-\frac{b}{a}\\\\5=-\frac{b}{a} \quad\quad(I)

x'\cdot x''=\frac{c}{a}\\\\1\cdot4=\frac{c}{a}\\\\4=\frac{c}{a}\quad\quad(II)

Analisando (I) e (II), temos:

a=1, pois o primeiro gráfico tem concavidade voltada para cima;

Portanto:

Em (I): 5=-\frac{b}{1} \Rightarrow b=-5

Em (II): 4=\frac{c}{1}\Rightarrow c = 4

Portanto, a primeira função é:

f(x)=ax^2+bx+c\\\\f(x)=x^2-5x+4

Analisando o ponto de vértice, temos:

V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})

Substituindo os valores:

V_{x}= -\frac{-5}{2\cdot1}\\\\V_{x}= -(-\frac{5}{2})\\\\V_{x}=\frac{5}{2}

V_y=-\frac{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}{4\cdot1}\\\\V_y=-\frac{25-16}{4}\\\\V_y=-\frac{9}{4}

Note que tanto a primeira função quanto a segunda possuem as mesmas raízes, interceptam o eixo das ordenadas no mesmo ponto; são idênticas, porém a segunda não assume valores negativos.

Disso, temos que a segunda função é uma função modular do segundo grau, da seguinte forma:

f(x)=|x^2-5x+4|

Portanto, as diferenças são:

  • A primeira é uma função de segundo grau (f(x)=x^2-5x+4) e a segunda é uma função modular de segundo grau (f(x)=|x^2-5x+4|);
  • Para o intervalo 1<x<4, a primeira função assume valores negativos enquanto a segunda assume valores positivos no mesmo intervalo;
  • A imagem da primeira função é o intervalo [-\frac{9}{4};+ \infty[ enquanto a imagem da segunda função é [0;+\infty[

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