Question

Pontue a diferença entre os gráficos das funções abaixo:

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Answer 1

Resposta:

• A primeira é uma função de segundo grau ($f(x)=x^2-5x+4$) e a segunda é uma função modular de segundo grau ($f(x)=|x^2-5x+4|$);
• Para o intervalo $1<x<4$, a primeira função assume valores negativos enquanto a segunda assume valores positivos no mesmo intervalo;
• A imagem da primeira função é o intervalo $[-\frac{9}{4};+ \infty[$ enquanto a imagem da segunda função é $[0;+\infty[$

Explicação passo a passo:

Note que o primeiro gráfico é uma equação de segundo grau. Analisando as raízes, que são $x' = 1$ e $x''=4$, temos, por soma e produto:

$x'+x''=-\frac{b}{a}\\\\1+4=-\frac{b}{a}\\\\5=-\frac{b}{a} \quad\quad(I)$

$x'\cdot x''=\frac{c}{a}\\\\1\cdot4=\frac{c}{a}\\\\4=\frac{c}{a}\quad\quad(II)$

Analisando $(I)$ e $(II)$, temos:

$a=1$, pois o primeiro gráfico tem concavidade voltada para cima;

Portanto:

Em $(I)$: $5=-\frac{b}{1} \Rightarrow b=-5$

Em $(II)$: $4=\frac{c}{1}\Rightarrow c = 4$

Portanto, a primeira função é:

$f(x)=ax^2+bx+c\\\\f(x)=x^2-5x+4$

Analisando o ponto de vértice, temos:

$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$

Substituindo os valores:

$V_{x}= -\frac{-5}{2\cdot1}\\\\V_{x}= -(-\frac{5}{2})\\\\V_{x}=\frac{5}{2}$

$V_y=-\frac{(-5)^2-4\cdot1\cdot4}{4\cdot1}\\\\V_y=-\frac{25-16}{4}\\\\V_y=-\frac{9}{4}$

Note que tanto a primeira função quanto a segunda possuem as mesmas raízes, interceptam o eixo das ordenadas no mesmo ponto; são idênticas, porém a segunda não assume valores negativos.

Disso, temos que a segunda função é uma função modular do segundo grau, da seguinte forma:

$f(x)=|x^2-5x+4|$

Portanto, as diferenças são:

• A primeira é uma função de segundo grau ($f(x)=x^2-5x+4$) e a segunda é uma função modular de segundo grau ($f(x)=|x^2-5x+4|$);
• Para o intervalo $1<x<4$, a primeira função assume valores negativos enquanto a segunda assume valores positivos no mesmo intervalo;
• A imagem da primeira função é o intervalo $[-\frac{9}{4};+ \infty[$ enquanto a imagem da segunda função é $[0;+\infty[$