Question

pontos de inflexão da função f(x)=1/4 x^4-2x³-1/2 x²+30x+8

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \frac{1}{4} x {}^{4} - 2x {}^{3} - \frac{1}{2} x {}^{2} + 30x + 8$

Para encontrar os pontos de inflexão dessa função, ou seja, onde há a mudança de concavidade, será necessário encontrarmos a derivada segunda dessa função, portanto vamos começar com esse passo:

$\bullet \: \: derivada \: primeira : \\ f'(x) = 4. \frac{1}{4} x {}^{3} - 3.2x {}^{2} - 2. \frac{1}{2}x + 30 \\ f'(x) = x {}^{3} - 6x {}^{2} - x + 30 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \bullet \: \: derivada \: segunda : \\ f''(x) = 3x {}^{2} - 12x - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Os pontos de inflexão são dados quando a derivada segunda é igual a "0", então:

$f''(x) = 0 \to pontos \: de \: inflex \tilde{a}o \\ \\ 3x {}^{2} - 12x - 1 = 0 \longrightarrow \begin{cases}x_1 = \frac{6 + \sqrt{39} }{3} \\ x_2 = \frac{6 - \sqrt{39} }{3} \end{cases}$

Portanto esses são os pontos de inflexão.

Espero ter ajudado