Question

(polinômios) - Se o polinômio x³-9x²+14x+24 tem raiz igual a 6, decompondo-o em fatores, obtém-se

Answer 1

Se $6$ é raiz de $x^3-9x^2+14x+24=0$, podemos afirmar que esse polinômio divisível por $x-6$.

Dividindo:

$6~~|~1~~-9~~~14~~~|~~24\\''~~|~1~~-3~~-4~~|~~0$

$q(x)=x^2-3x-4$

$\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)$
$\Delta=9+16$
$\Delta=25$

$x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm5}{2}$

$x'=\dfrac{3+5}{2}~\longrightarrow~x'=\dfrac{8}{2}~\longrightarrow~\boxed{x'=4}$

$x"=\dfrac{3-5}{2}~\longrightarrow~x"=\dfrac{-2}{2}~\longrightarrow~\boxed{x"=-1}$

Se $x_1,x_2$ e $x_3$ são raízes de $x^3+bx^2+cx+d=0$ temos que:

$x^3+bx^2+cx+d=(x-x_1)\cdot(x-x_2)\cdot(x-x_3)$

Como as raízes de $x^3-9x^2+14x+24=0$ são $-1,4$ e $6$, então:

$x^3-9x^2+14x+24=[x-(-1)]\cdot(x-4)\cdot(x-6)$

$x^3-9x^2+14x+24=(x+1)\cdot(x-4)\cdot(x-6)$