Question

Polinômios: Formar uma equação algébrica de coeficientes reais, com grau mínimo, de modo que 0, 1+i e i sejam raízes simples.

Answer 1

Um polinômio de grau 'n' pode ser escrito em função de suas raízes 'α':

$P(x)=(x-\alpha_{1})\cdot(x-\alpha_{2})\cdot(x-\alpha_{3})\cdot...\cdot(x-\alpha_{n})$
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Devemos lembrar de um tópico da teoria das equações para resolver esse exercício:

Toda equação, com coeficientes reais, que admitir uma raiz complexa, necessariamente admite como raiz o conjugado dessa raiz complexa

Raízes: 0, (1 + i), i

Temos duas raízes complexas, então os conjugados dessas raízes também serão raízes da equação:

Conjugado de 1 + i ---> 1 - i
Conjugado de i ---> - i

Logo, a equação possuirá como raízes 0, (1 + i), (1 - i), i e -i (grau 5)

Escrevendo a equação em função das raízes do polinômio:

$P(x)=0\\(x-0)\cdot(x-[1+i])\cdot(x-[1-i])\cdot(x-i)\cdot(x-[-i])=0\\x\cdot(x-1-i)\cdot(x-1+i)\cdot(x-i)\cdot(x+i)=0\\x\cdot([x-1]+i)\cdot([x-1]-i)\cdot(x+i)\cdot(x-i)=0\\x\cdot([x-1]^{2}-i^{2})\cdot(x^{2}-i^{2})=0\\x\cdot(x^{2}-2x+1-[-1])\cdot(x^{2}-[-1])=0\\x\cdot(x^{2}-2x+1+1)\cdot(x^{2}+1)=0\\x\cdot(x^{2}-2x+2)\cdot(x^{2}+1)=0\\x\cdot(x^{4}+x^{2}-2x^{3}-2x+2x^{2}+2)=0\\x\cdot(x^{4}-2x^{3}+3x^{2}-2x+2)=0\\\\\\\boxed{\boxed{x^{5}-2x^{4}+3x^{3}-2x^{2}+2x=0}}$