Question

Polinômio :p (×)= 3×^5 - 2×^4 + 5×^3 - 11×^2 - 7× + 12 mostre que × = 1 e raiz da equação p(×) = 0.

Answer 1

p(x) = 3x^5 - 2x^4 + 5x^3 - 11x^2 - 7x + 12

Se 1 é raiz da equação p(x) = 0, então

0 = 3(1)^5 - 2(1)^4 + 5(1)^3 - 11(1)^2 - 7(1) + 12
0 = 3 - 2 + 5 - 11 - 7 + 12
0 = 20 - 20
0 = 0

Os dois lados conferem veracidade, portanto, 1 é raiz da equação p(x) = 0.

Outro modo de provar que 1 é raiz é dividindo P(x) por (x-1), necessariamente, teremos a exclusão de um coeficiente, fazendo com que o grau do polinômio diminua em 1. Sendo assim, fatorando o polinômio em (x-1).q(x) = p(x).

1 | 3 -2 5 -11 -7 + 12
   | 3 1  6  -5 -12    0

Portanto P(x) pode ser fatorado da seguinte maneira:

P(x) = (3x^4 + x^3 + 6x^2 - 5x - 12)(x - 1).

E assim por diante com as demais raízes.