Question

Poderiam me ajudar ?? Alexandre Theóphile Vandermonde nasceu em Paris no ano de 1735. Dedicou-se à música e somente aos 35 anos passou a dedicar-se àmatemática. Estudou a teoria das equações e trabalhou com determinantes. Um tipo particular de matriz recebe seu nome, mas também é conhecida como matriz potência.
Chama-se matriz de Vandermonde toda matriz quadrada do tipoAo observamos a matriz genérica de Vandermonde, notamos que é necessário definir apenas os elementos da segunda linha, pois os outros elementos são potências dos elementos dessa mesma linha.O produto da matriz de Vandermonde com sua transposta é igual a Qual o valor de a?

a)-9
b)± 3
c)3
d)-3
e)9

Answer 1

Bom, primeiro vamos colocar a Matriz original:

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\ \sqrt{2} &a& -\frac{1}{3} \\2&a^2& \frac{1}{9} \end{array}\right]$

Agora vamos achar a transposta. Basta trocar linhas por colunas.

$\left[\begin{array}{ccc}1& \sqrt{2} &2\\1&a&a^2\\1&- \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}\right]$

Ok, ele fala que o produto dessas matrizes resulta nesta que ele colocou no exercício, só que ele já deu ela pronta, e por isso ele quer o valor de a.

Então para achar o valor de a basta igualar o produto das Matrizes com a Matriz final que ele deu.
Eu só vou precisar da linha a13

Se eu fizer o produto das Matrizes desta linha eu vou ter.

$2+a^2+\frac { 1 }{ 9 }$

Agora é só igualar com a13 da Matriz pronta, assim acharemos a.

$a^{ 2 }+2+\frac { 1 }{ 9 } =\frac { 100 }{ 9 } \\ a^{ 2 }=\frac { 100 }{ 9 } -2-\frac { 1 }{ 9 } \\ \\ a^{ 2 }=\frac { 100-18-1 }{ 9 } \\ \\ a^{ 2 }=\frac { 100-19 }{ 9 } \\ \\ a^{ 2 }=\frac { 81 }{ 9 } \\ \\ a=\sqrt { \frac { 81 }{ 9 } } \Leftrightarrow \frac { 9 }{ 3 }$

$a=3$