Question

Podem me ajudar com essa equação logarítimica?: 27x^log x na base 3= x^4

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Guidias, como já vimos a sua informação dada nos comentários da questão dada pelo outro usuário, de que o gabarito da questão dá que x = 3 e x = 27, então já sabemos como é que a sua questão está escrita. Então vamos a ela:

i)

27*x^(log₃ (x)) = x⁴ ----- isolando "x^(log₃ (x)", teremos:

x^(log₃ (x)) = x⁴/27 ---- agora vamos aplicar logaritmo (na base 3) a ambos os membros, com o que ficaremos assim:

log₃ [x^(log₃ (x))] = log₃ (x⁴/27) ---- agora vamos aplicar algumas propriedades logarítmicas: no 1º membro vamos colocar o expoente "log₃ (x)" multiplicando; e no 2º membro vamos transformar a divisão em subtração. Fazendo isso, teremos:

log₃ (x)*log₃ (x) = log₃ (x⁴) - log₃ (27) ----- note que, no 1º membro, iremos ficar com [log₃ (x)]²; e, no 2º membro vamos passar o expoente "4" multiplicando, com o que ficaremos assim:

[log₃ (x)]² = 4log₃ (x) - log₃ (27) ---- note que log₃ (27) = 3, pois 3³ = 27. Logo:

[log₃ (x)]² = 4log₃ (x) - 3 ----- vamos fazer log₃ (x) = y. Com isso, vamos ficar assim:

y² = 4y - 3 ---- vamos passar todo o 2º membro para o primeiro, ficando:

y² - 4y + 3 = 0 ---- note que se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

y' = 1 e y'' = 3

Mas veja que fizemos "log₃ (x) = y". Então teremos:

ii) Para y = 1, teremos:

log₃ (x) = 1 ---- aplicando a definição de logaritmo, teremos que:

3¹ = x ---> 3 = x ---> x = 3 <--- Esta é uma raiz.

iii) Para y = 3, teremos:

log₃ (x) = 3 ---- aplicando a definição de logaritmo, teremos que:

3³ = x ---> 27 = x ---> x = 27 <--- Esta é a outra raiz.

iv) Assim, resumindo, teremos que os valores de "x" poderão ser:

x = 3 ou x = 27 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma o que dá no mesmo:

S = {3; 27}.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.