Question

Pode os ângulos internos e externos de um polígono regular apresentar medidas iguais ? Em que caso isso ocorre ?

Answer 1

O ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados mede $\dfrac{(n-2)\cdot180}{n}$.

Já o ângulo externo de um polígono regular de $n$ lados mede $\dfrac{360}{n}$. Assim, devemos ter:

$\dfrac{(n-2)\cdot180}{n}=\dfrac{360}{n}$

$(n-2)\cdot180=360$

$n-2=2$

$n=4$

Ocorre somente no polígono regular de 4 lados, o quadrado.

Answer 2

Veja que um polígono de n lados pode ser decomposto em n-2 triângulos.
como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, temos que a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dado por 180°(n-2)

Se o polígono for regular, cada um de seus ângulos internos medirá:

$a_i=\frac{180(n-2)}{n}$

Sabe-se que o ângulo externo é o suplemento do ângulo interno, ou seja:

$a_e=180-\frac{180(n-2)}{n}\\ \\ a_e=\frac{180n-180n+360}{n}=\frac{360^o}{n}$

Se algum polígono os ângulos internos e externos tem a mesma medida, teremos:

$a_i=a_e\\ \\ \frac{180(n-2)}{n}=\frac{360}{n}\\ \\ 180n-360=360\\ \\ 180n=720\\ \\ n=\frac{720}{180}\\ \\ n=4$

O polígono regular de 4 lados é o quadrado.