Question

(PM TO 2013 - Consulplan) A área em negrito da figura corresponde a 1/3 da área do retângulo ABCD, cujo perimetro mede 40 cm. Considerando ainda que o perímetro da região em negrito equivale a 3/5 do perímetro do retângulo ABCD, então a área desse retângulo é de:

A) 84 cm quadrados
B) 90 cm quadrados
C) 92 cm quadrados
D) 96 cm quadrados​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vamos chamar aos lados do retângulo ABCD de AB = CD = x  e AD = BC = y. Como a área do retângulo em negrito corresponde 1/3 da área de ABCD, logo AB foi dividido em três partes iguais, assim, temos que a medida do retângulo em negrito correspondente ao lado AB = x/3 (I)

Temos que o perímetro P₁ do retângulo ABCD é:

P₁ = 2x + 2y => 2x + 2y = 40 => 2(x + y) = 40 => x + y = 40/2 => x + y = 20 (II)

Temos que o Perímetro P₂ do retângulo em negrito é:

P₂ = 2.x/3 + 2y => 2(x/3 + y) = 3/5.40 => 2(x/3 + y) = 24 => x/3 + y = 12 (III)

De (II) e (III) temos:

x + y = 20 (II)

x/3 + y = 12 (III)

De (II) temos que x + y = 20 => x = 20 - y (IV)

Substituindo (IV) em (III) temos:

(20 - y)/3 + y = 12, multiplicando tudo por 3, temos:

20 - y + 3y = 36

2y = 36 - 20

y = 16/2

y = 8 cm (V)

Substituindo (V) em (II) temos:

x + 8 = 20

x = 20 - 8

x = 12 cm

Assim, a área de ABCD é:

A(ABCD) = 12 x 8 = 96 cm², alternativa D)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Sejam $\sf \overline{AB}=b$ a base e $\sf \overline{AD}=h$ a altura do retângulo $\sf ABCD$

Perímetro é a soma dos lados.

Como o perímetro do retângulo $\sf ABCD$ mede $\sf 40~cm$, temos:

$\sf b+h+b+h=40$

$\sf 2b+2h=40$

$\sf b+h=20$

A área do retângulo em negrito corresponde à um terço da área do retângulo $\sf ABCD$

Assim, a base do retângulo em negrito mede $\sf \dfrac{b}{3}$

O perímetro da retângulo em negrito corresponde a três quintos do perímetro do retângulo $\sf ABCD$

Assim:

$\sf \dfrac{b}{3}+h+\dfrac{b}{3}+h=\dfrac{3}{5}\cdot40$

$\sf \dfrac{2b}{3}+2h=\dfrac{120}{5}$

$\sf \dfrac{2b}{3}+2h=24$

$\sf 2b+6h=72$

$\sf b+3h=36$

Podemos montar o sistema:

$\sf \begin{cases} \sf b+h=20 \\ \sf b+3h=36 \end{cases}$

Multiplicando a primeira equação por $\sf -1$:

$\sf \begin{cases} \sf b+h=20~~\cdot(-1) \\ \sf b+3h=36 \end{cases}\Rightarrow~\begin{cases} \sf -b-h=-20 \\ \sf b+3h=36 \end{cases}$

Somando as equações:

$\sf -b+b-h+3h=-20+36$

$\sf 2h=16$

$\sf h=\dfrac{16}{2}$

$\sf \red{h=8~cm}$

Substituindo na primeira equação:

$\sf b+h=20$

$\sf b+8=20$

$\sf b=20-8$

$\sf \red{b=12~cm}$

A área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões.

A área do retângulo $\sf ABCD$ é:

$\sf A=b\cdot h$

$\sf A=12\cdot8$

$\sf \red{</p><p>A=96~cm^2}$

Letra D