Question

PF URGENTE!!!! Prove que 2 (x²+y²) ≥ (x+y)² quaisquer que sejam x e y.

Answer 1

Resposta:

Ver demonstração abaixo.

Explicação passo a passo:

Para nossa demonstração, vamos precisar reescrever a inequação, passando o termo à direita para a esquerda, nesse caso o termo deve passar para a esquerda com o sinal trocado.

Portanto a inequação fica:

2 (x²+y²) - (x+y)² >= 0

Vamos desenvolver o lado esquerdo da inequação:

2 (x²+y²) - (x+y)²

= 2x² + 2y² - x² - 2xy - y²

= x² - 2xy + y²

= (x-y)²

Mas a expressão resultante sempre é maior ou igual a zero, pois está elevada ao quadrado (sendo x,y reais). Portanto,

2 (x²+y²) - (x+y)² >= 0

=>

2 (x²+y²) >= (x+y)²

Como queríamos demonstrar.