Question

Pessoal, sistema de equações do segundo grau:

 

$<var>\left \{ {{x^{2}+y^{2} - (x+y) = 48} \atop {x + y + xy = 31}} \right</var>$

 

Não consegui de jeito nenhum fazer esse sistema... Alguma alma do bem poderia me dar uma mãozinha?

 

Preferencialmente,  deixe os cálculos e explique de um modo que dê pra entender :)

Answer 1

eu presciso simplificar a seguinte expressao algebrica

5y-{-4y2+7y2}+{-y2+9y2-11y2}

Answer 2

Olá, Henrique.

 

$<var>\text{Somando as duas equa\c{c}\~oes temos:}\\\\x^2+y^2+xy=79\\\\ \text{Somando }xy\text{ dos dois lados temos:}\\\\ x^2+xy+xy+y^2=79+xy \Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 79 + xy \Rightarrow \\\\ (x+y)^2=79+xy \Rightarrow (x+y)^2 - xy = 79</var>$

 

Façamos agora a seguinte mudança de variável:

 

$<var>\begin{cases}u=x+y \\ v=xy \end{cases}</var>$

 

O sistema passa a ser então:

 

$<var>\begin{cases}u^2 - v = 79 \\ u + v = 31 \end{cases}</var>$

 

Somando as duas equações temos:

 

$<var>u^2 + u = 110 \Rightarrow u^2 + u - 110 = 0 \Rightarrow\\\\ \Delta = 1 + 440 = 441 \Rightarrow \sqrt\Delta=\sqrt{3^2+7^2}=3\cdot7=21 \Rightarrow\\\\ u=\frac{-1 \pm 21}2 \Rightarrow u=10\text{ ou }u=-11\\\\ \text{Se }u=10 \Rightarrow 10 + v = 31 \Rightarrow v=21\\\\ \text{Se }u=-11 \Rightarrow -11 + v = 31 \Rightarrow v = 42</var>$

 

Voltemos agora à mudança de variável que fizemos lá atrás para obter os valores de  $x$  e  $y:$

 

$<var>\text{Para o par }(u,v)=(10,21)\text{ temos o seguinte sistema:}\\\\ \begin{cases}x+y=10 \\ xy = 21 \end{cases} \Rightarrow x(10-x)=21 \Rightarrow -x^2 + 10x - 21 = 0 \Rightarrow \\\\ \Delta = 100-84=16 \Rightarrow \sqrt\Delta=4\\\\ x= \frac{-10 \pm 4}{-2} \Rightarrow x=7\text{ ou }x=3\\\\ \text{Se }x=7 \Rightarrow 7+y=10 \Rightarrow y=3\\\\ \text{Se }x=3 \Rightarrow 3+y = 10 \Rightarrow y=7</var>$

 

$\text{<var>Para o par }(u,v)=(-11,42)\text{ temos o seguinte sistema:}\\\\ \begin{cases}x+y=-11 \\ xy = 42 \end{cases}\Rightarrow x(-11-x)=42 \Rightarrow -x^2 - 11x - 42 = 0 \Rightarrow\\\\ \Delta = 121-168=-47 \Rightarrow \sqrt\Delta = i\sqrt{47} \Rightarrow x = \frac{-11 \pm i\sqrt{47}}2\\\\ \Rightarrow y = -11 - \frac{11 \pm i\sqrt{47}}2</var>$

 

Portanto, as soluções reais são:

 

$\boxed{<var>(x,y)=(3,7)\text{ e }(x,y)=(7,3)}</var>$

 

e as soluções complexas são:

 

$<var>(x,y)=(\frac{-11 \pm i\sqrt{47}}2, -11 - \frac{11 \pm i\sqrt{47}}2)</var>$