Question

Pessoal me ajudem. é so a questão 10. Dados os vetores ........como faço esse calculo.

Answer 1

São dados dois vetores do $\mathbb{R}^{2}$

$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(3,\;8)~\text{ e }~\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,\;-2)$

e é pedido para determinar os valores dos escalares $a_{1}\text{ e }a_{2}$ (números reais), de modo que

$2a_{1}\overrightarrow{\mathbf{u}}-a_{2}\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-5,\;-6).$

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Vamos utilizar as propriedades de operações com vetores:

$2a_{1}\overrightarrow{\mathbf{u}}-a_{2}\overrightarrow{\mathbf{v}}\\ \\ =2a_{1}\,(3,\;8)-a_{2}\,(2,\;-2)\\ \\ =(2a_{1}\cdot 3,\;2a_{1}\cdot 8)+\,((-a_{2})\cdot 2,\;(-a_{2})\cdot (-2))\\ \\ =(6a_{1},\;16a_{1})+\,(-2a_{2},\;2a_{2})\\ \\ =(6a_{1}-2a_{2},\;16a_{1}+2a_{2})=(-5,\;-6)$


Então, é só resolver o seguinte sistema linear:

$\left\{ \begin{array}{r} 6a_{1}-2a_{2}=-5\\ 16a_{1}+2a_{2}=-6 \end{array} \right.$


Somando as duas equações membro a membro, temos

$22a_{1}=-11\\ \\ a_{1}=-\dfrac{11}{22}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}a_{1}=-\dfrac{1}{2} \end{array}}$


Substituindo o valor encontrado na primeira equação do sistema, obtemos

$6\cdot \left(-\dfrac{1}{2} \right )-2a_{2}=-5\\ \\ \\ -3-2a_{2}=-5\\ \\ -2a_{2}=-5+3\\ \\ -2a_{2}=-2\\ \\ a_{2}=\dfrac{-2}{-2}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}a_{2}=1 \end{array}}$