Question

Pessoal crânio me auxilia aqui, por gentileza:

Answer 1

Para invertermos a ordem de integração, é fundamental compreender qual é a região de integração em causa.

É desde já claro que, para cada $y\in[0,1]$, vamos percorrer $x\in[0,y]$. Por outras palavras. Para cada $y$ fixo entre 0 e 1, $x$ toma valores entre 0 e $y$. Concluímos assim que a região de integração corresponde à porção do quadrado $[0,1]^2$ acima da reta de equação $y=x$.

Uma forma mais simples de ver isto é fazendo um esboço. A região de integração, encontra-se assinalada a azul.

Assim, fica claro que $x\in[0,1]$. Fixando $x$, verificamos que $y \in [x,1]$, pois só toma valores acima da reta $y=x$. Portanto, temos:

$\displaystyle \int\limits_0^1 \left(\int\limits_0^y f(x,y) \textrm{ d}x\right) \textrm{ d}y = \int\limits_0^1 \left(\int\limits_x^1 f(x,y) \textrm{ d}y\right) \textrm{ d}x.$