Question

calcule o valor da expressão $( senx + cosx )^{2}$ + $( senx - cosx )^{2}$ para X ∈ R

Answer 1

Se fizermos $\mathsf{a=sen\,x+cos\,x}~~~e\mathsf{~~b=sen\,x-cos\,x}$, temos

$\mathsf{I=(sen\,x+cos\,x)^{2}+(sen\,x-cos\,x)^{2}=a^{2}+b^{2}}$

E sabemos que $\mathsf{a^{2}+b^{2}=(a^{2}+2ab+b^{2})-2ab=(a+b)^{2}-2ab}$

Então:

$\mathsf{I=(a+b)^{2}-2ab}\\\\\mathsf{I=\big([sen\,x+cos\,x]+[sen\,x-cos\,x]\big)^{2}-2(sen\,x+cos\,x)(sen\,x-cos\,x)}\\\\\mathsf{I=(2sen\,x)^{2}-2(sen\,x+cos\,x)(sen\,x-cos\,x)}$

Usando o produto notável $(\alpha+\beta)(\alpha-\beta)=\alpha^{2}-\beta^{2}$:

$\mathsf{I=2^{2}(sen\,x)^{2}-2\big[(sen\,x)^{2}-(cos\,x)^{2}\big]}\\\\\mathsf{I=4sen^{2}x-2(sen^{2}x-cos^{2}x)}\\\\\mathsf{I=4sen^{2}x-2sen^{2}x+2cos^{2}x}\\\\\mathsf{I=2sen^{2}x+2cos^{2}x}$

Colocando 2 em evidência:

$\mathsf{I=2(sen^{2}x+cos^{2}x)}\\\\\mathsf{I=2\cdot1}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{I=2}}}$

Foi usada a relação fundamental da trigonometria:

$\mathsf{sen^{2}\theta+cos^{2}\theta=1~~para~qualquer~\theta\in\mathbb{R}}$