Question

Permutando-se os algarismos do número 512.621, quantos são menores que 650.000

Answer 1

Utilizando conceitos de permutação e ordenação, temos que utilizando os algarismos de 512.621 temos 174 permutações que são menores que 650.000.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o número 512.621, ou seja, temos a nossa disposição para permutação os algarismos:

1, 1, 2, 2, 5, 6

Assim vamos colocar as permutações destes em ordem crescente:

Começando com 1:

1 . _ _ _ _ _

Neste caso temos 5 algarismos sobrando quando começamos com 1:

1, 2, 2, 5, 6

Dos quais só um repete 2 vezes, assim está permutação é dada por:

$P=\frac{5!}{2!}=\frac{5.4.3.2}{2}=60$

Assim temos 60 números diferentes começando com 1.

Começando com 2:

Da mesma forma:

2 . _ _ _ _ _

1, 1, 2, 5, 6

E novamente temos somente um algarismo repetindo 2 vezes:

$P=\frac{5!}{2!}=\frac{5.4.3.2}{2}=60$

Assim temos 60 números começando com 2.

Começando com 5:

5 . _ _ _ _ _

Ficamos com os algarismos:

1, 1, 2, 2, 6

Neste caso temos 5 algarismo permutados e dois deles se repetem 2 vezes, então ficamos com:

$P=\frac{5!}{2!2!}=\frac{5.4.3.2}{2.2}=30$

E assim temos 30 números começando com 5.

Começando com 6:

Neste ponto fica mais delicado, pois o nosso número só pode começar com 61 ou 62, pois começando com 65 o valor já seria maior que 650.000, então vamos dividir esta parte em duas:

Começando com 61:

61 . _ _ _ _

Ficamos com:

1, 2, 2, 5

4 algarismos permutados e um repetindo 2 vezes:

$P=\frac{4!}{2!}=\frac{4.3.2}{2}=12$

Assim, 12 permutações.

Começando com 62:

62 . _ _ _ _

Ficamos com:

1, 1, 2, 5

4 algarismos permutados e um repetindo 2 vezes:

$P=\frac{4!}{2!}=\frac{4.3.2}{2}=12$

Assim, 12 permutações.

Conclusão:

Agora basta somarmos todas as permutações que são menores que 650.000:

60 + 60 + 30 + 12 + 12 = 174 permutações.

Assim temos que utilizando os algarismos de 512.621 temos 174 permutações que são menores que 650.000.